Номер 12.6, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.6. На рисунке 43 $AD = DC$, $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $AM = MC$ и $\angle BAC = \angle BCA$.

Рис. 43

Для доказательства обоих утверждений сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

По условию задачи нам дано:

• $AD = DC$
• $\angle ADB = \angle CDB$

Сторона $BD$ является общей для этих двух треугольников.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• $AB = CB$ (как соответственные стороны)
• $\angle ABD = \angle CBD$ (как соответственные углы)

Опираясь на эти факты, докажем требуемые равенства.

Докажите, что $AM = MC$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Как мы ранее доказали, $AB = CB$, следовательно, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

Также мы доказали, что $\angle ABD = \angle CBD$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $BD$, отрезок $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и медианой. Так как $BM$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам в точке $M$.

Следовательно, $AM = MC$.

Ответ: Равенство $AM = MC$ доказано.

Докажите, что $\angle BAC = \angle BCA$

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Как мы доказали ранее из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$, сторона $AB$ равна стороне $CB$.

Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Ответ: Равенство $\angle BAC = \angle BCA$ доказано.