Номер 12.7, страница 28 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.7. В треугольнике $ABC$ (рис. 44) биссектриса $CO$ делит сторону $AB$ пополам. Найдите градусную меру угла $ABC$, если $\angle BAC = 68^\circ$.

Рис. 44

Рассмотрим треугольник $ABC$.

По условию задачи, отрезок $CO$ является биссектрисой угла $ACB$. Это означает, что он делит угол $C$ на два равных угла: $\angle ACO = \angle BCO$.

Также по условию, биссектриса $CO$ делит сторону $AB$ пополам в точке $O$. Это означает, что $O$ является серединой стороны $AB$, и, следовательно, $CO$ является медианой треугольника $ABC$.

Таким образом, в треугольнике $ABC$ отрезок $CO$ является одновременно и биссектрисой, и медианой.

Существует свойство треугольника, которое гласит: если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, является также и медианой, то этот треугольник — равнобедренный.

Применяя это свойство к треугольнику $ABC$, мы заключаем, что он является равнобедренным, причем боковые стороны, выходящие из вершины $C$, равны: $AC = BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием в данном случае является сторона $AB$, а углами при основании — $\angle BAC$ и $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABC = \angle BAC$.

По условию нам дано, что $\angle BAC = 68^\circ$.

Значит, искомый угол $\angle ABC$ также равен $68^\circ$.

Ответ: $68^\circ$.