Номер 12.3, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

б) $\angle ABM = \angle CBN$.

12.3. a) На рисунке 41 изображен треугольник $ABC$, $\angle BAC = \angle BCA$, $AC : BC = 3 : 2$. Найдите длину стороны $AB$, если периметр треугольника $ABC$ равен $35$ см.

б) В треугольнике $ABC$ (рис. 42) $\angle BAC = \angle BCA$, $BC : AC = 3 : 4$. Периметр треугольника $ABC$ равен $50$ см. Найдите длину стороны $AC$.

а) В треугольнике $ABC$ дано, что углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. В данном случае основанием является сторона $AC$, а боковые стороны $AB$ и $BC$ равны между собой: $AB = BC$.
По условию, отношение сторон $AC : BC = 3 : 2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом:
$AC = 3x$
$BC = 2x$
Поскольку треугольник равнобедренный и $AB = BC$, то $AB = 2x$.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$. По условию периметр равен 35 см. Составим уравнение:
$2x + 2x + 3x = 35$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7} = 5$
Теперь можем найти длину стороны $AB$:
$AB = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.
Ответ: 10 см.

б) В треугольнике $ABC$ углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Следовательно, его боковые стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.
По условию дано отношение сторон $BC : AC = 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $y$. Тогда длины сторон равны:
$BC = 3y$
$AC = 4y$
Так как $AB = BC$, то $AB = 3y$.
Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC$. По условию, периметр равен 50 см. Составим уравнение:
$3y + 3y + 4y = 50$
$10y = 50$
$y = \frac{50}{10} = 5$
Найдем длину стороны $AC$:
$AC = 4y = 4 \cdot 5 = 20$ см.
Ответ: 20 см.