Номер 12.1, страница 27 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.1. Что должно быть известно об углах треугольника $ABC$, чтобы утверж дать, что он:

а) равнобедренный;

б) равносторонний?

а) равнобедренный;

Чтобы утверждать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо знать, что два его угла равны. Это является признаком равнобедренного треугольника.

Согласно теореме, обратной теореме об углах при основании равнобедренного треугольника: если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, будут равными боковыми сторонами.

Например, если в треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = \angle C$, то из этого следует, что стороны, лежащие напротив этих углов, равны, то есть $BC = AB$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Аналогично, если $\angle A = \angle B$, то треугольник равнобедренный с основанием $AB$, а если $\angle B = \angle C$ — с основанием $BC$.

Ответ: должно быть известно, что два угла треугольника равны.

б) равносторонний?

Чтобы утверждать, что треугольник $ABC$ является равносторонним (или правильным), необходимо знать, что все три его угла равны между собой.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного. Если все три угла треугольника равны ($\angle A = \angle B = \angle C$), то, применяя признак равнобедренного треугольника, можно показать, что все три его стороны равны. Например, из $\angle A = \angle B$ следует, что $BC = AC$, а из $\angle B = \angle C$ следует, что $AC = AB$. Таким образом, $AB = BC = AC$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Если все три угла равны, то величина каждого из них составляет $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Следовательно, условие равенства всех углов эквивалентно тому, что каждый угол треугольника равен $60^\circ$.

Стоит отметить, что достаточно знать равенство $60^\circ$ даже для двух углов. Если, например, $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, то третий угол $\angle C$ также будет равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$, что означает, что треугольник равносторонний.

Ответ: должно быть известно, что все три угла треугольника равны между собой (что эквивалентно тому, что каждый из них равен $60^\circ$).