Номер 10.13, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.13. Медиана $CM$ треугольника $ABC$ делит его на два треугольника $ACM$ и $BCM$, периметры которых соответственно равны 27 см и 33 см. Найдите длину этой медианы, если периметр треугольника $ABC$ равен 50 см.

Пусть стороны треугольника $ABC$ имеют длины $AC$, $BC$ и $AB$. Обозначим длину медианы $CM$ через $m_c$.

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AC + BC + AB$. По условию, $P_{ABC} = 50$ см, следовательно: $AC + BC + AB = 50$.

Медиана $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой стороны $AB$ (точкой $M$). Это означает, что $M$ делит сторону $AB$ на два равных отрезка: $AM = MB$. Таким образом, $AB = AM + MB = 2 \cdot AM$.

Медиана $CM$ делит исходный треугольник на два других: $ACM$ и $BCM$. Рассмотрим их периметры.

Периметр треугольника $ACM$ ($P_{ACM}$) равен: $P_{ACM} = AC + AM + CM$. Из условия известно, что $P_{ACM} = 27$ см. $AC + AM + m_c = 27$.

Периметр треугольника $BCM$ ($P_{BCM}$) равен: $P_{BCM} = BC + MB + CM$. Поскольку $MB = AM$, можно записать: $P_{BCM} = BC + AM + CM$. Из условия известно, что $P_{BCM} = 33$ см. $BC + AM + m_c = 33$.

Теперь сложим периметры треугольников $ACM$ и $BCM$: $P_{ACM} + P_{BCM} = (AC + AM + m_c) + (BC + AM + m_c)$. Подставим известные значения: $27 + 33 = AC + BC + 2 \cdot AM + 2 \cdot m_c$. $60 = AC + BC + 2 \cdot AM + 2 \cdot m_c$.

Так как $AB = 2 \cdot AM$, мы можем заменить $2 \cdot AM$ на $AB$ в полученном уравнении: $60 = (AC + BC + AB) + 2 \cdot m_c$.

Выражение в скобках $AC + BC + AB$ — это периметр треугольника $ABC$, который равен 50 см. Подставим это значение: $60 = P_{ABC} + 2 \cdot m_c$. $60 = 50 + 2 \cdot m_c$.

Осталось решить полученное линейное уравнение относительно $m_c$: $2 \cdot m_c = 60 - 50$. $2 \cdot m_c = 10$. $m_c = \frac{10}{2}$. $m_c = 5$.

Таким образом, длина медианы $CM$ составляет 5 см.

Ответ: 5 см.