Номер 10.11, страница 25 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.11. Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности, причем $AC$ — диаметр этой окружности (рис. 38). Какова длина медианы $BM$ треугольника $ABC$, если $AC = 12$ см?

Рис. 38

По условию задачи, вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности, а его сторона $AC$ является диаметром этой окружности. Отрезок $BM$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$.

1. Поскольку $AC$ является диаметром окружности, то его середина, точка $M$, является центром этой окружности. По определению, медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам, значит точка $M$ и есть середина диаметра.

2. Расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на ней, равно радиусу. Так как точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, а $M$ — её центр, то отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются радиусами. Следовательно, их длины равны: $MA = MB = MC = R$.

3. Длина радиуса $R$ равна половине длины диаметра $AC$. По условию, $AC = 12$ см.

Найдем длину радиуса: $R = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

4. Так как длина медианы $BM$ равна радиусу окружности, то ее длина составляет 6 см.

Стоит также отметить, что так как угол $∠ABC$ опирается на диаметр, он является прямым ($∠ABC = 90°$), а треугольник $ABC$ — прямоугольным. Медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы, что также приводит к тому же результату: $BM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.