Номер 10.4, страница 24 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.4. Какие из отрезков треугольника (высоты, медианы, биссектрисы) всегда лежат внутри треугольника? Какие из них могут совпадать с его сторонами?

Какие из отрезков треугольника (высоты, медианы, биссектрисы) всегда лежат внутри треугольника?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть поведение каждого из этих отрезков в зависимости от вида треугольника.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поскольку середина стороны всегда лежит на самой стороне, а вершина является частью треугольника, то весь отрезок медианы будет находиться внутри треугольника (включая его границу). Это справедливо для любого типа треугольника: остроугольного, прямоугольного и тупоугольного.

Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину этого угла с точкой на противоположной стороне. Угол в треугольнике всегда больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. Поэтому луч биссектрисы, выходящий из вершины, всегда проходит между двумя сторонами, образующими этот угол, и обязательно пересекает противолежащую сторону. Таким образом, отрезок биссектрисы всегда целиком лежит внутри треугольника.

Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Расположение высоты зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри него.
• В прямоугольном треугольнике одна высота лежит внутри, а две другие совпадают с его катетами.
• В тупоугольном треугольнике только одна высота (проведенная к самой длинной стороне) лежит внутри, а две другие располагаются вне треугольника, так как их основания попадают на продолжения сторон.

Поскольку существуют случаи (в тупоугольном треугольнике), когда высоты лежат вне треугольника, нельзя утверждать, что они всегда лежат внутри.

Следовательно, отрезками, которые при любых условиях лежат внутри треугольника, являются медианы и биссектрисы.

Ответ: Медианы и биссектрисы.

Какие из них могут совпадать с его сторонами?

Рассмотрим эту возможность для каждого вида отрезков.

Медиана и биссектриса не могут совпадать со стороной треугольника. И медиана, и биссектриса выходят из одной вершины и пересекают противоположную сторону. Если бы один из этих отрезков совпал со стороной, выходящей из той же вершины, это означало бы, что третья вершина треугольника лежит на этой же стороне, что невозможно для невырожденного треугольника (углы были бы равны $0^\circ$ или $180^\circ$).

Высота может совпадать со стороной. Это происходит в прямоугольном треугольнике. Стороны, образующие прямой угол (катеты), взаимно перпендикулярны. Поэтому катет является высотой, опущенной из вершины острого угла на другой катет. Например, в треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, сторона $AC$ является высотой к стороне $BC$, и наоборот, сторона $BC$ является высотой к стороне $AC$.

Следовательно, со сторонами треугольника могут совпадать только высоты.

Ответ: Высоты.