Номер 9.10, страница 23 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.10. Треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$. Докажите, что соответствующие медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны.

Дано, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны.

В частности, равны следующие элементы:
- Стороны: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$.
- Угол между этими сторонами: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (или просто $\angle A = \angle A_1$).

По условию, $BM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, она делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AC$, и $AM = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, $B_1M_1$ — медиана треугольника $A_1B_1C_1$. Она делит сторону $A_1C_1$ пополам. Следовательно, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1C_1$, и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Так как из равенства исходных треугольников мы знаем, что $AC = A_1C_1$, то равны и половины этих сторон:$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}A_1C_1 = A_1M_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. Сравним их:
1. $AB = A_1B_1$ (из равенства $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
2. $AM = A_1M_1$ (как было показано выше).
3. $\angle A = \angle A_1$ (из равенства $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).

Таким образом, треугольник $\triangle ABM$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BM$ в треугольнике $\triangle ABM$ является соответственной стороне $B_1M_1$ в треугольнике $\triangle A_1B_1M_1$. Следовательно, их длины равны: $BM = B_1M_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство соответствующих медиан $BM$ и $B_1M_1$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ по первому признаку.