Номер 9.6, страница 22 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.6. Точки A и C лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры AB и CD к прямой a равны (рис. 31). Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

Рис. 31

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $. Чтобы доказать их равенство, сравним их соответствующие элементы.

1. По условию задачи, отрезки $ AB $ и $ CD $ являются перпендикулярами к прямой $ a $. Точки $ B $ и $ D $ — это основания перпендикуляров, и они лежат на прямой $ a $. Из определения перпендикуляра следует, что углы $ \angle ABD $ и $ \angle CDB $ являются прямыми, то есть $ \angle ABD = 90^\circ $ и $ \angle CDB = 90^\circ $.

2. Также в условии сказано, что перпендикуляры $ AB $ и $ CD $ равны. Это означает, что длина стороны $ AB $ треугольника $ \triangle ABD $ равна длине стороны $ CD $ треугольника $ \triangle CDB $, то есть $ AB = CD $.

3. Сторона $ BD $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $), в которых:
- сторона $ AB $ равна стороне $ CD $;
- сторона $ BD $ является общей ($ BD = DB $);
- угол между этими сторонами $ \angle ABD $ равен углу $ \angle CDB $ ($ \angle ABD = \angle CDB = 90^\circ $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $ \triangle ABD $ равен треугольнику $ \triangle CDB $.

Поскольку треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $ являются прямоугольными, их равенство также можно обосновать признаком равенства прямоугольных треугольников по двум катетам: катет $ AB $ равен катету $ CD $, а катет $ BD $ является общим.

Следовательно, равенство $ \triangle ABD = \triangle CDB $ доказано.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle CDB $ доказано. Треугольники равны по двум катетам, так как $ AB = CD $ по условию, а катет $ BD $ у них общий.