Номер 9.8, страница 23 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.8. Треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$. Докажите, что соответствующие биссектрисы $BK$ и $B_1K_1$ равны.

По условию задачи, треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$ ($\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны их соответствующие стороны и углы:
1) $AB = A_1B_1$
2) $\angle A = \angle A_1$
3) $\angle B = \angle B_1$

В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является биссектрисой угла $\angle B$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно:
$\angle ABK = \frac{1}{2}\angle B$.

Аналогично, в треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $B_1K_1$ является соответствующей биссектрисой угла $\angle B_1$. Это означает, что:
$\angle A_1B_1K_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$.

Поскольку из равенства исходных треугольников мы знаем, что $\angle B = \angle B_1$, то и половины этих углов равны между собой:
$\angle ABK = \frac{1}{2}\angle B = \frac{1}{2}\angle B_1 = \angle A_1B_1K_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle A_1B_1K_1$. Сравним их по имеющимся у нас данным:
• $AB = A_1B_1$ (как соответствующие стороны в равных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$).
• $\angle A = \angle A_1$ (как соответствующие углы в равных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$).
• $\angle ABK = \angle A_1B_1K_1$ (как было доказано выше).

Мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABK$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle A_1B_1K_1$). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABK \cong \triangle A_1B_1K_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle A_1B_1K_1$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BK$ в треугольнике $ABK$ соответствует стороне $B_1K_1$ в треугольнике $A_1B_1K_1$. Таким образом, $BK = B_1K_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Соответствующие биссектрисы $BK$ и $B_1K_1$ равны.