Номер 9.3, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.3. a) Пользуясь данными рисунка 27, найдите $NK$ при условии, что треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Объясните ответ.

Рис. 27

б) Пользуясь данными рисунка 28, найдите $\angle BCA$ при условии, что треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Объясните ответ.

Рис. 28

а)

По условию задачи треугольники $ABC$ и $MNK$ равны ($\triangle ABC = \triangle MNK$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: сторон и углов.

Рассмотрим данные, представленные на рисунке 27:

• В треугольнике $ABC$: сторона $AC = 14$, сторона $BC = 8$, и угол между этими сторонами $\angle BCA = 52^\circ$.
• В треугольнике $MNK$: сторона $MK = 14$, угол $\angle MKN = 52^\circ$.

Сравним известные элементы двух треугольников:

• Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна стороне $MK$ треугольника $MNK$ ($AC = MK = 14$).
• Угол $C$ треугольника $ABC$ равен углу $K$ треугольника $MNK$ ($\angle C = \angle K = 52^\circ$).

Поскольку треугольники равны, то их соответственные стороны равны. Сторона, прилежащая к углу $C$ в $\triangle ABC$, это $BC$. Сторона, прилежащая к равному ему углу $K$ в $\triangle MNK$, это $NK$. Следовательно, сторона $BC$ соответствует стороне $NK$.

Таким образом, $NK = BC$.

Из рисунка известно, что $BC = 8$.

Следовательно, $NK = 8$.

Ответ: $NK = 8$.

б)

По условию задачи треугольники $ABC$ и $MNK$ равны ($\triangle ABC = \triangle MNK$).

Равенство треугольников означает, что их соответствующие стороны и углы равны.

Рассмотрим данные, представленные на рисунке 28:

• В треугольнике $ABC$: сторона $AC = 10$, сторона $BC = 10$. Так как две стороны равны, $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Угол $\angle BCA$ — это угол при вершине, между равными сторонами.
• В треугольнике $MNK$: сторона $NK = 10$, сторона $MK = 10$, и угол между ними $\angle N K M = 46^\circ$. Так как две стороны равны, $\triangle MNK$ является равнобедренным с основанием $MN$.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Сравним треугольники:

• В $\triangle ABC$ есть две равные стороны $AC$ и $BC$.
• В $\triangle MNK$ есть две равные стороны $NK$ и $MK$.

Поскольку $AC = BC = NK = MK = 10$, то пара равных сторон $\{AC, BC\}$ в $\triangle ABC$ соответствует паре равных сторон $\{MK, NK\}$ в $\triangle MNK$.

Угол, заключенный между равными сторонами в $\triangle ABC$, — это $\angle BCA$.

Угол, заключенный между равными сторонами в $\triangle MNK$, — это $\angle N K M$.

Так как треугольники равны, то и углы между соответствующими равными сторонами должны быть равны.

Следовательно, $\angle BCA = \angle N K M$.

Из рисунка известно, что $\angle N K M = 46^\circ$.

Таким образом, $\angle BCA = 46^\circ$.

Ответ: $\angle BCA = 46^\circ$.