Номер 8.1, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8.1. Используя соотношения между углами треугольника $ABC$,

запишите условие того, что этот треугольник:

а) равнобедренный;

б) равносторонний.

а) равнобедренный;

Треугольник называется равнобедренным, если у него равны две стороны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Углы, лежащие напротив равных сторон, равны.
Пусть в треугольнике $ABC$ углы при вершинах обозначаются как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.
Чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из следующих условий:
1) $\angle A = \angle B$. В этом случае треугольник является равнобедренным с основанием $AB$, и стороны $AC = BC$.
2) $\angle B = \angle C$. В этом случае треугольник является равнобедренным с основанием $BC$, и стороны $AB = AC$.
3) $\angle A = \angle C$. В этом случае треугольник является равнобедренным с основанием $AC$, и стороны $AB = BC$.
Таким образом, общее условие того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, можно записать в виде совокупности (логического "или") этих трех равенств.
Ответ: $\angle A = \angle B$ или $\angle B = \angle C$ или $\angle A = \angle C$.

б) равносторонний.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Следствием этого является то, что все углы в равностороннем треугольнике также равны.
Пусть в треугольнике $ABC$ углы при вершинах обозначаются как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.
Условие того, что треугольник $ABC$ является равносторонним, заключается в равенстве всех его трех углов: $$ \angle A = \angle B = \angle C $$ Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, из этого условия следует, что каждый угол равностороннего треугольника равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. То есть, условие можно записать и как $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$. Однако соотношение между углами, определяющее равносторонний треугольник, — это их равенство.
Ответ: $\angle A = \angle B = \angle C$.