Номер 7.3, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.3. Прямая $a$ пересекает стороны угла $A$ в точках $B$ и $C$. Могут ли обе прямые $AB$ и $AC$ быть перпендикулярными прямой $a$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что обе прямые $AB$ и $AC$ могут быть перпендикулярны прямой $a$.

По условию задачи, прямая $a$ пересекает стороны угла $A$ в точках $B$ и $C$. Это означает, что точки $B$ и $C$ лежат на прямой $a$. Следовательно, прямая $a$ и прямая $BC$ — это одна и та же прямая.

Таким образом, наше предположение можно переформулировать: прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AB \perp BC$) и прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AC \perp BC$).

В евклидовой геометрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны друг другу.

Применяя эту теорему к нашей ситуации, мы получаем, что прямая $AB$ должна быть параллельна прямой $AC$ ($AB \parallel AC$).

Однако по условию задачи прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами угла $A$. Это означает, что они имеют общую точку — точку $A$, то есть они пересекаются.

Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в одном случае: если они совпадают. Если бы прямые $AB$ и $AC$ совпадали, то точки $A, B, C$ лежали бы на одной прямой, и угол $A$ был бы либо нулевым ($0^\circ$), либо развернутым ($180^\circ$). Это противоречит условию, что прямая $a$ пересекает стороны угла, что подразумевает наличие невырожденного угла, стороны которого являются различными пересекающимися прямыми.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Это же противоречие можно доказать и другим способом, рассмотрев треугольник $ABC$. Если предположить, что $AB \perp BC$ и $AC \perp BC$, то углы при вершинах $B$ и $C$ в треугольнике $ABC$ были бы прямыми ($\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$). Сумма этих двух углов уже равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Но сумма всех трех углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$, а угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) должен быть строго больше нуля, иначе точки $A, B, C$ лежат на одной прямой и не образуют треугольник. Получается, что сумма углов превысит $180^\circ$, что невозможно.

Ответ: Нет, не могут.