Номер 6.15, страница 17 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.15*. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые, при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. Сколько

углов, меньших $180^\circ$, образуется в результате взаимного пересечения этих прямых? Рассмотрите все возможные варианты.

Для решения задачи необходимо найти количество точек пересечения прямых, так как в каждой точке пересечения двух прямых образуется 4 угла, меньших $180^\circ$ (два вертикальных острых или прямых угла и два вертикальных тупых или прямых угла). Общее число углов равно произведению числа точек пересечения на 4.

Рассмотрим все возможные конфигурации четырех прямых на плоскости с учетом условия, что никакие три прямые не пересекаются в одной точке.

Вариант 1: Нет параллельных прямых
В этом случае каждая прямая пересекается с тремя другими. Количество точек пересечения можно найти как число сочетаний из 4 элементов по 2:$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ точек пересечения. В каждой из этих 6 точек образуется по 4 угла. Общее количество углов: $6 \times 4 = 24$.
Ответ: 24 угла.

Вариант 2: Одна пара параллельных прямых
Пусть две прямые параллельны, а две другие пересекают их и друг друга. Обозначим прямые $a, b, c, d$, где $a \parallel b$. Прямая $c$ пересекает $a$ и $b$ (2 точки). Прямая $d$ пересекает $a$ и $b$ (2 точки). Прямые $c$ и $d$ пересекаются между собой (1 точка). Так как $a$ и $b$ не пересекаются, общее число точек пересечения: $1+1+1+1+1 = 5$ точек. Общее количество углов: $5 \times 4 = 20$.
Ответ: 20 углов.

Вариант 3: Две пары параллельных прямых
Пусть прямые $a, b, c, d$ образуют две пары параллельных прямых: $a \parallel b$ и $c \parallel d$. В этом случае прямые образуют параллелограмм. Каждая прямая из первой пары ($a$ и $b$) пересекает каждую прямую из второй пары ($c$ и $d$). Число точек пересечения равно 4 (вершины параллелограмма). Общее количество углов: $4 \times 4 = 16$.
Ответ: 16 углов.

Вариант 4: Три прямые параллельны, одна их пересекает
Пусть прямые $a, b, c$ параллельны между собой, а прямая $d$ их пересекает (является секущей). Прямая $d$ пересекает каждую из трех параллельных прямых в одной точке. Общее число точек пересечения: 3. Общее количество углов: $3 \times 4 = 12$.
Ответ: 12 углов.