Номер 7.4, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.4. Даны два угла $AOB$ и $DOC$ с общей вершиной $O$. Стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого (рис. 23). Найдите углы $AOB$ и $DOC$, если разность их градусных мер составляет $90^\circ$.

Рис. 23

Пусть градусная мера угла $AOB$ равна $\alpha$, а градусная мера угла $DOC$ равна $\beta$.

По условию, стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого. Для таких углов существует теорема, согласно которой они либо равны, либо их сумма составляет $180^\circ$. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1) $\alpha = \beta$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Также из условия задачи известно, что разность их градусных мер составляет $90^\circ$. Запишем это в виде уравнения, предположив для определённости, что $\alpha > \beta$:

$\alpha - \beta = 90^\circ$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Углы равны ($\alpha = \beta$)

Если углы равны, то их разность равна нулю: $\alpha - \beta = 0$. Это противоречит условию, что их разность равна $90^\circ$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: Сумма углов равна $180^\circ$ ($\alpha + \beta = 180^\circ$)

В этом случае мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 90^\circ \end{cases}$$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 90^\circ$

$2\alpha = 270^\circ$

$\alpha = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ$

Теперь найдем $\beta$, подставив значение $\alpha$ в любое из уравнений. Подставим в первое:

$135^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 135^\circ$

$\beta = 45^\circ$

Таким образом, градусные меры искомых углов равны $135^\circ$ и $45^\circ$. Судя по рисунку, $\angle AOB$ — тупой, а $\angle DOC$ — острый, поэтому $\angle AOB = 135^\circ$ и $\angle DOC = 45^\circ$.

Ответ: $135^\circ$ и $45^\circ$.