Номер 6.14, страница 17 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.14. a) При пересечении двух прямых образовалось 4 угла. Известно, что сумма трех из них равна $250^\circ$. Найдите величины всех четырех углов.

б) При пересечении двух прямых образовалось 4 угла. Известно, что сумма двух из них равна $130^\circ$. Найдите величины всех четырех углов.

а) При пересечении двух прямых образуются 4 угла. Сумма всех четырех углов, образующих полный круг, равна $360^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.

Итак, $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ$.

По условию задачи, сумма трех из этих углов равна $250^\circ$. Предположим, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 250^\circ$.

Чтобы найти величину четвертого угла, $\angle 4$, нужно вычесть сумму трех известных углов из общей суммы:

$\angle 4 = 360^\circ - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3) = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных углов, которые равны между собой. Угол, вертикальный углу $\angle 4$, также равен $110^\circ$. Пусть это будет $\angle 2$. Значит, $\angle 2 = \angle 4 = 110^\circ$.

Оставшиеся два угла, $\angle 1$ и $\angle 3$, являются смежными с углами $\angle 2$ и $\angle 4$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle 1$, который смежен с углом $\angle 2$ (или $\angle 4$):

$\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Угол $\angle 3$ является вертикальным к углу $\angle 1$, следовательно, он также равен $70^\circ$.

Таким образом, мы получили четыре угла: два по $110^\circ$ и два по $70^\circ$.

Проверим, выполняется ли условие задачи: сумма трех углов должна быть $250^\circ$. Если сложить два меньших угла и один больший: $70^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 250^\circ$. Условие выполнено.

Ответ: два угла равны $70^\circ$ и два других угла равны $110^\circ$.

б) При пересечении двух прямых образуются 4 угла. По условию, сумма двух из них равна $130^\circ$. Рассмотрим два возможных варианта для этих двух углов.

Вариант 1: Углы смежные.

Смежные углы — это углы, которые имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Поскольку в условии сказано, что сумма равна $130^\circ$, а $130^\circ \neq 180^\circ$, то эти два угла не могут быть смежными.

Вариант 2: Углы вертикальные.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и расположены друг напротив друга. Вертикальные углы всегда равны. Обозначим эти равные углы как $\alpha$.

По условию их сумма равна $130^\circ$:

$\alpha + \alpha = 130^\circ$

$2\alpha = 130^\circ$

$\alpha = 130^\circ / 2 = 65^\circ$.

Итак, два вертикальных угла равны по $65^\circ$.

Два других угла также являются вертикальными и, следовательно, равны между собой. Обозначим их как $\beta$. Каждый из них является смежным с углом в $65^\circ$.

Найдем величину угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Таким образом, два других угла равны по $115^\circ$.

В результате мы получили четыре угла: два по $65^\circ$ и два по $115^\circ$.

Ответ: два угла равны $65^\circ$ и два других угла равны $115^\circ$.