Номер 6.11, страница 17 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.11. a) Углы $MOK$ и $KOC$ — смежные, причем угол $KOC$ составляет пятую часть угла $MOK$. Найдите градусную меру угла, который вместе с углом $MOK$ образует пару вертикальных углов.

б) Углы $AOB$ и $BOC$ — смежные, причем угол $BOC$ составляет четвертую часть угла $AOB$. Найдите градусную меру угла, который вместе с углом $BOC$ образует пару вертикальных углов.

а) По условию, углы $MOK$ и $KOC$ — смежные. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle MOK + \angle KOC = 180^\circ$. Пусть градусная мера угла $MOK$ равна $x$. Тогда, согласно условию, градусная мера угла $KOC$ будет равна $\frac{1}{5}x$. Составим и решим уравнение:
$x + \frac{1}{5}x = 180^\circ$
$\frac{6}{5}x = 180^\circ$
$x = 180^\circ \cdot \frac{5}{6}$
$x = 150^\circ$
Таким образом, $\angle MOK = 150^\circ$.
Угол, который вместе с углом $MOK$ образует пару вертикальных углов, по свойству вертикальных углов равен самому углу $MOK$. Следовательно, искомый угол равен $150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

б) По условию, углы $AOB$ и $BOC$ — смежные, значит их сумма равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$. Пусть градусная мера угла $AOB$ равна $x$. Тогда, согласно условию, градусная мера угла $BOC$ равна $\frac{1}{4}x$. Составим и решим уравнение:
$x + \frac{1}{4}x = 180^\circ$
$\frac{5}{4}x = 180^\circ$
$x = 180^\circ \cdot \frac{4}{5}$
$x = 144^\circ$
Итак, $\angle AOB = 144^\circ$. Тогда $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Угол, который вместе с углом $BOC$ образует пару вертикальных углов, равен самому углу $BOC$ по свойству вертикальных углов. Следовательно, искомый угол равен $36^\circ$.
Ответ: $36^\circ$.