Номер 6.8, страница 16 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.8. Разность двух смежных углов равна $90^\circ$. Найдите величины этих углов и постройте их с помощью транспортира.

Найдите величины этих углов

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть величины искомых углов будут $ \alpha $ и $ \beta $.
Исходя из свойства смежных углов, мы можем составить первое уравнение:
$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $90^\circ$. Предположим, что $ \alpha $ — это больший угол. Тогда мы можем составить второе уравнение:
$ \alpha - \beta = 90^\circ $

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 90^\circ \end{cases} $

Чтобы решить систему, сложим оба уравнения:
$ (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 90^\circ $
$ 2\alpha = 270^\circ $
$ \alpha = \frac{270^\circ}{2} $
$ \alpha = 135^\circ $

Теперь, зная значение $ \alpha $, мы можем найти $ \beta $, подставив его в первое уравнение:
$ 135^\circ + \beta = 180^\circ $
$ \beta = 180^\circ - 135^\circ $
$ \beta = 45^\circ $

Проверим полученные значения: сумма углов $135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$, а их разность $135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Все условия задачи соблюдены.
Ответ: величины этих углов равны $135^\circ$ и $45^\circ$.

постройте их с помощью транспортира

Для построения данных углов необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертите на бумаге прямую линию и отметьте на ней произвольную точку O. Эта точка будет общей вершиной для смежных углов.
2. Приложите транспортир к прямой так, чтобы его центр совпал с точкой O, а нулевая отметка (линия $0^\circ-180^\circ$) расположилась вдоль начерченной прямой.
3. Найдите на шкале транспортира отметку, соответствующую $45^\circ$, и поставьте рядом с ней точку (например, точку А).
4. Уберите транспортир и проведите луч из точки O через точку А.
5. Построенный луч OA разделил развернутый угол (прямую линию) на два смежных угла. Один из них, меньший, будет равен $45^\circ$. Второй, больший, будет равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: чтобы построить углы, необходимо начертить прямую, выбрать на ней точку-вершину, а затем с помощью транспортира отложить от одного из образовавшихся лучей угол в $45^\circ$; второй смежный угол, равный $135^\circ$, образуется автоматически.