Номер 6.6, страница 16 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.6. а) Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми?

б) Может ли один из смежных углов быть тупым, а другой — прямым?

а) Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением и свойством смежных углов. Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим градусные меры двух смежных углов как $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Рассмотрим каждый из трех предложенных случаев:

• Два острых угла. Острый угол — это угол меньше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла острые, то $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$. В этом случае их сумма будет $\alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит свойству смежных углов, согласно которому их сумма должна быть строго равна $180^\circ$. Значит, два смежных угла не могут быть одновременно острыми.
• Два прямых угла. Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Если оба угла прямые, то $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ$. Их сумма будет $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это полностью соответствует свойству смежных углов. Значит, два смежных угла могут быть прямыми.
• Два тупых угла. Тупой угол — это угол больше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла тупые, то $\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$. В этом случае их сумма будет $\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это также противоречит свойству смежных углов. Значит, два смежных угла не могут быть одновременно тупыми.

Ответ: Два смежных угла не могут быть одновременно острыми; могут быть прямыми; не могут быть тупыми.

б) Может ли один из смежных углов быть тупым, а другой — прямым?

Снова обратимся к свойству смежных углов: их сумма $\alpha + \beta$ должна быть равна $180^\circ$.

Пусть один из углов, например $\alpha$, является тупым, а другой, $\beta$, — прямым. По определению, тупой угол больше $90^\circ$ (то есть $\alpha > 90^\circ$), а прямой угол равен $90^\circ$ (то есть $\beta = 90^\circ$).

Найдем сумму этих двух углов: $\alpha + \beta = \alpha + 90^\circ$. Поскольку $\alpha > 90^\circ$, то их сумма будет заведомо больше $180^\circ$:$\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит основному свойству смежных углов, по которому их сумма должна быть ровно $180^\circ$. Следовательно, такая комбинация углов невозможна.

Ответ: Нет, не может.