Номер 6.9, страница 16 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.9. Определите величину угла между биссектрисами двух смежных углов.

6.9.

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, образуя прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Пусть у нас есть два смежных угла, $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Их общая сторона — $OB$, а стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую. Таким образом, выполняется равенство:

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Проведем луч $OM$ — биссектрису угла $\angle AOB$. По определению биссектрисы, она делит угол $\angle AOB$ пополам, то есть:

$\angle MOB = \frac{1}{2} \angle AOB$

Проведем луч $ON$ — биссектрису угла $\angle BOC$. Аналогично, она делит угол $\angle BOC$ пополам:

$\angle BON = \frac{1}{2} \angle BOC$

Угол между биссектрисами $OM$ и $ON$ — это угол $\angle MON$. Он состоит из суммы двух углов: $\angle MOB$ и $\angle BON$.

$\angle MON = \angle MOB + \angle BON$

Теперь подставим в это равенство выражения для $\angle MOB$ и $\angle BON$:

$\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle BOC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MON = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle BOC)$

Так как мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:

$\angle MON = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами двух смежных углов всегда равен $90^\circ$, то есть является прямым углом, независимо от величин самих смежных углов.

Ответ: $90^\circ$.