Номер 7.2, страница 18 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.2. Из точки O проведены лучи OA, OB, OC и OK, причем $OB \perp OA$, OK — биссектриса угла COB. Найдите:

а) углы AOK, AOC и KOB, если угол, образованный биссектрисами углов AOB и BOC, равен $20^\circ$ (рис. 21);

б) углы AOK, BOK и AOC, если угол, образованный биссектрисами углов AOB и BOC, равен $75^\circ$ (рис. 22).

Рис. 21

Рис. 22

а)

По условию задачи лучи $OB$ и $OA$ перпендикулярны, следовательно, угол между ними равен $90^\circ$: $ \angle AOB = 90^\circ $.

Пусть $OM$ — биссектриса угла $ \angle AOB $. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $ \angle AOM = \angle MOB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $.

По условию, луч $OK$ является биссектрисой угла $ \angle COB $, значит $ \angle COK = \angle KOB $.

Угол, образованный биссектрисами углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ (или $ \angle COB $), — это угол $ \angle MOK $. По условию $ \angle MOK = 20^\circ $.

Из рисунка 21 видно, что луч $OC$ находится между лучами $OA$ и $OB$. Это означает, что $ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB $. В этом случае угол между биссектрисами $OM$ и $OK$ равен модулю разности углов $ \angle MOB $ и $ \angle KOB $, так как они отложены от общего луча $OB$ в одну сторону (внутрь угла $ \angle AOB $).

$ \angle MOK = |\angle MOB - \angle KOB| $.

Подставляем известные значения: $ 20^\circ = |45^\circ - \angle KOB| $.

Это равенство возможно в двух случаях:
1) $ 45^\circ - \angle KOB = 20^\circ \Rightarrow \angle KOB = 25^\circ $.
2) $ 45^\circ - \angle KOB = -20^\circ \Rightarrow \angle KOB = 65^\circ $.

Рассмотрим второй случай: если $ \angle KOB = 65^\circ $, то $ \angle COB = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ $. Но поскольку луч $OC$ лежит между $OA$ и $OB$, должно выполняться $ \angle COB < \angle AOB = 90^\circ $. Следовательно, второй случай невозможен.

Таким образом, верным является только первый случай: $ \angle KOB = 25^\circ $.

Теперь найдем остальные углы. Так как $OK$ — биссектриса $ \angle COB $, то $ \angle COB = 2 \cdot \angle KOB = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ $.

Угол $ \angle AOC $ можно найти как разность углов $ \angle AOB $ и $ \angle COB $: $ \angle AOC = \angle AOB - \angle COB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ $.

Угол $ \angle AOK $ можно найти как разность углов $ \angle AOB $ и $ \angle KOB $: $ \angle AOK = \angle AOB - \angle KOB = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ $.

Ответ: $ \angle AOK = 65^\circ $, $ \angle AOC = 40^\circ $, $ \angle KOB = 25^\circ $.

б)

Как и в предыдущем пункте, $ \angle AOB = 90^\circ $. Пусть $OM$ — биссектриса угла $ \angle AOB $, тогда $ \angle MOB = 45^\circ $.

Луч $OK$ — биссектриса угла $ \angle BOC $, значит $ \angle BOK = \angle KOC $.

Угол между биссектрисами $OM$ и $OK$ равен $ \angle MOK = 75^\circ $.

Из рисунка 22 видно, что луч $OB$ находится между лучами $OA$ и $OC$. Это означает, что угол $ \angle AOC $ является суммой углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $.

В этом случае угол между биссектрисами $OM$ и $OK$ складывается из углов, прилежащих к общему лучу $OB$, так как биссектрисы лежат по разные стороны от него: $ \angle MOK = \angle MOB + \angle BOK $.

Подставляем известные значения: $ 75^\circ = 45^\circ + \angle BOK $.

Отсюда находим $ \angle BOK $: $ \angle BOK = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ $.

Теперь найдем остальные углы. Так как $OK$ — биссектриса $ \angle BOC $, то $ \angle BOC = 2 \cdot \angle BOK = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.

Угол $ \angle AOC $ находим как сумму углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ $.

Угол $ \angle AOK $ можно найти как сумму углов $ \angle AOB $ и $ \angle BOK $: $ \angle AOK = \angle AOB + \angle BOK = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ $.

Ответ: $ \angle AOK = 120^\circ $, $ \angle BOK = 30^\circ $, $ \angle AOC = 150^\circ $.