Номер 7.5, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.5. Внутри угла $ABC$ проведен луч $BK$. Найдите градусную меру угла $CBM$, если луч $BM$ перпендикулярен лучу $AB$ и $\angle ABK = 25^\circ$, что составляет $\frac{5}{8}$ угла $CBK$.

1. Нахождение градусной меры угла CBK
По условию задачи известно, что $\angle ABK = 25^\circ$. Также дано, что эта величина составляет $\frac{5}{8}$ от угла $CBK$.
Запишем это в виде математического выражения:
$25^\circ = \frac{5}{8} \cdot \angle CBK$
Чтобы найти $\angle CBK$, выразим его из этого уравнения, разделив известную часть на дробь:
$\angle CBK = 25^\circ \div \frac{5}{8} = 25^\circ \cdot \frac{8}{5} = \frac{25 \cdot 8}{5} = 5 \cdot 8 = 40^\circ$.
Таким образом, градусная мера угла $CBK$ равна $40^\circ$.

2. Нахождение градусной меры угла ABC
По условию, луч $BK$ проходит внутри угла $ABC$. Следовательно, угол $ABC$ является суммой углов $ABK$ и $CBK$.
$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK$
Подставим найденные и данные значения:
$\angle ABC = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$.
Таким образом, градусная мера угла $ABC$ равна $65^\circ$.

3. Нахождение градусной меры угла CBM
В условии сказано, что луч $BM$ перпендикулярен лучу $AB$. Это означает, что угол между ними, $\angle ABM$, равен $90^\circ$.
Мы уже вычислили, что $\angle ABC = 65^\circ$. Так как $\angle ABC < \angle ABM$ ($65^\circ < 90^\circ$), это означает, что луч $BC$ располагается внутри угла $ABM$.
Следовательно, угол $ABM$ складывается из углов $ABC$ и $CBM$.
$\angle ABM = \angle ABC + \angle CBM$
Отсюда мы можем найти искомый угол $CBM$, вычитая из большего угла меньший:
$\angle CBM = \angle ABM - \angle ABC = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$.
Ответ: $25^\circ$.