Номер 7.7, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.7*. Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят его на три равные части. Докажите, что биссектриса среднего угла перпендикулярна сторонам развернутого угла.

Дано:

Пусть $\angle AOB$ — развернутый угол с вершиной в точке O. Его стороны OA и OB лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$, то есть $\angle AOB = 180^\circ$.

Из вершины O проведены два луча OC и OD, которые делят $\angle AOB$ на три равные части. Таким образом, $\angle AOC = \angle COD = \angle DOB$.

Проведена биссектриса OE среднего угла $\angle COD$. По определению биссектрисы, $\angle COE = \angle EOD$.

Доказать:

Биссектриса OE перпендикулярна сторонам развернутого угла OA и OB. Это означает, что нужно доказать равенство $\angle AOE = 90^\circ$ и $\angle BOE = 90^\circ$.

Доказательство:

1. Найдем градусную меру каждого из трех углов, на которые лучи OC и OD делят развернутый угол. Поскольку эти углы равны, а их сумма составляет $180^\circ$, то:
$\angle AOC = \angle COD = \angle DOB = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

2. Луч OE является биссектрисой среднего угла $\angle COD$. Следовательно, он делит этот угол на два равных угла:
$\angle COE = \angle EOD = \frac{\angle COD}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Найдем угол между биссектрисой OE и стороной OA развернутого угла. Угол $\angle AOE$ является суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COE$.
$\angle AOE = \angle AOC + \angle COE = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

4. Аналогично найдем угол между биссектрисой OE и стороной OB развернутого угла. Угол $\angle BOE$ является суммой углов $\angle BOD$ и $\angle EOD$.
$\angle BOE = \angle BOD + \angle EOD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

Так как $\angle AOE = 90^\circ$ и $\angle BOE = 90^\circ$, то луч OE перпендикулярен лучам OA и OB, которые являются сторонами развернутого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между биссектрисой среднего из трех равных углов и каждой из сторон исходного развернутого угла составляет $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$, что по определению означает их перпендикулярность.