Номер 7.6, страница 19 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.6. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину данных тупых углов.

Пусть данные два равных тупых угла — это $ \angle AOB $ и $ \angle COB $, где $O$ — их общая вершина, а луч $OB$ — общая сторона. Обозначим величину каждого из этих углов через $ \alpha $. По условию, углы являются тупыми, что означает $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $. Две другие стороны, лучи $OA$ и $OC$, взаимно перпендикулярны, следовательно, угол между ними $ \angle AOC = 90^\circ $.

Существует два возможных расположения общего луча $OB$ по отношению к углу $ \angle AOC $.

1. Луч $OB$ проходит внутри угла $ \angle AOC $.
В этой конфигурации угол $ \angle AOC $ равен сумме углов $ \angle AOB $ и $ \angle COB $. Таким образом, $ \angle AOC = \angle AOB + \angle COB $, что приводит к уравнению $ 90^\circ = \alpha + \alpha $. Отсюда $ 2\alpha = 90^\circ $, и $ \alpha = 45^\circ $. Этот результат противоречит исходному условию, что углы тупые ($ \alpha > 90^\circ $), поэтому данный случай не является решением.

2. Луч $OB$ проходит вне угла $ \angle AOC $.
В этой конфигурации сумма углов $ \angle AOB $, $ \angle BOC $ и $ \angle AOC $ составляет полный оборот вокруг точки $O$, то есть $ 360^\circ $. Таким образом, $ \angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^\circ $. Подставив известные значения, мы получаем уравнение: $ \alpha + \alpha + 90^\circ = 360^\circ $. Решим это уравнение относительно $ \alpha $:
$ 2\alpha + 90^\circ = 360^\circ $
$ 2\alpha = 360^\circ - 90^\circ $
$ 2\alpha = 270^\circ $
$ \alpha = \frac{270^\circ}{2} $
$ \alpha = 135^\circ $.
Это значение удовлетворяет всем условиям задачи, так как $ 135^\circ $ является тупым углом ($ 90^\circ < 135^\circ < 180^\circ $).

Ответ: 135°.