Номер 9.4, страница 21 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.4. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Пусть отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Согласно условию задачи, точка пересечения делит эти отрезки пополам. Это означает, что $ AO = OC $ и $ BO = OD $. Требуется доказать равенство треугольников ABC и CDA, то есть $ \triangle ABC = \triangle CDA $.

Доказательство:

1. Рассмотрим пару треугольников, образованных пересечением отрезков: $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.

• Сторона $ AO $ треугольника $ \triangle AOB $ равна стороне $ CO $ треугольника $ \triangle COD $ по условию.
• Сторона $ BO $ треугольника $ \triangle AOB $ равна стороне $ DO $ треугольника $ \triangle COD $ по условию.
• Угол $ \angle AOB $ равен углу $ \angle COD $, так как они являются вертикальными углами.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle AOB = \triangle COD $.

2. Из доказанного равенства треугольников $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ следует равенство их соответствующих сторон и углов. В частности:

• Сторона $ AB $ равна стороне $ CD $.
• Угол $ \angle OAB $ равен углу $ \angle OCD $.

3. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle CDA $, равенство которых мы доказываем.

• Сторона $ AB $ треугольника $ \triangle ABC $ равна стороне $ CD $ треугольника $ \triangle CDA $ (согласно пункту 2).
• Угол $ \angle BAC $ (который является тем же углом, что и $ \angle OAB $) равен углу $ \angle DCA $ (который является тем же углом, что и $ \angle OCD $) (согласно пункту 2).
• Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ \triangle ABC $ ($AB$, $AC$ и $ \angle BAC $) соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $ \triangle CDA $ ($CD$, $CA$ и $ \angle DCA $). По первому признаку равенства треугольников, $ \triangle ABC = \triangle CDA $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABC = \triangle CDA $ доказано. Доказательство основано на первом признаке равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из условия, что отрезки AC и BD делятся точкой пересечения O пополам, сначала доказывается равенство $ \triangle AOB = \triangle COD $. Из этого равенства следует, что $ AB = CD $ и $ \angle BAC = \angle DCA $. Учитывая, что сторона AC является общей, заключаем, что $ \triangle ABC = \triangle CDA $.