Номер 9.7, страница 23 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.7. а) Пользуясь данными рисунка 32, определите, являются ли равными треугольники $ABC$ и $DAE$. Объясните ответ.

б) Пользуясь данными рисунка 33, определите, являются ли равными треугольники $ABC$ и $DAE$. Объясните ответ.

Рис. 32

Рис. 33

а) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DAE$ на рисунке 32.

Из данных на рисунке мы знаем параметры треугольника $ABC$:
$\angle B = 37^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, сторона $BC = 30$.

Для треугольника $DAE$ известны следующие параметры:
$\angle D = 45^\circ$, $\angle E = 37^\circ$, сторона $DE = 30$.

Сравним элементы этих двух треугольников, чтобы проверить их на равенство.
1. Сторона $BC$ в $\triangle ABC$ равна стороне $DE$ в $\triangle DAE$: $BC = DE = 30$.
2. Угол $\angle B$, прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle E$, прилежащему к стороне $DE$: $\angle B = \angle E = 37^\circ$.
3. Угол $\angle C$, прилежащий к стороне $BC$, равен углу $\angle D$, прилежащему к стороне $DE$: $\angle C = \angle D = 45^\circ$.

Поскольку сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($BC$, $\angle B$, $\angle C$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($DE$, $\angle E$, $\angle D$), то эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
Соответствие вершин будет следующим: $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow D$. Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle AED$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $DAE$ равны.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $DAE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

б) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DAE$ на рисунке 33.

Из данных на рисунке мы знаем параметры треугольника $ABC$:
$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 43^\circ$, сторона $BC = 38$.

Для треугольника $DAE$ известны следующие параметры:
$\angle D = 45^\circ$, $\angle E = 37^\circ$, сторона $DE = 30$.

Чтобы треугольники были равными, их соответствующие стороны и углы должны быть равны. Сравним известные нам элементы.
Стороны: $BC = 38$, а $DE = 30$. Так как $38 \neq 30$, эти стороны не равны.
Углы: известные углы треугольника $ABC$ ($\angle B=30^\circ, \angle C=43^\circ$) не равны известным углам треугольника $DAE$ ($\angle D=45^\circ, \angle E=37^\circ$).

Для окончательной проверки найдем третьи углы в каждом треугольнике, используя теорему о сумме углов треугольника (сумма углов равна $180^\circ$).
В треугольнике $ABC$: $\angle BAC = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$.
В треугольнике $DAE$: $\angle DAE = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (45^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.

Таким образом, набор углов треугольника $ABC$ — $\{30^\circ, 43^\circ, 107^\circ\}$, а набор углов треугольника $DAE$ — $\{37^\circ, 45^\circ, 98^\circ\}$.
Поскольку ни стороны, ни углы треугольников не совпадают, они не могут быть равными.

Ответ: Нет, треугольники $ABC$ и $DAE$ не являются равными, так как их соответствующие стороны и углы не равны.