Номер 9.11, страница 23 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.11*. Для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняются условия: $AB = A_1B_1, BC = B_1C_1, \angle B = \angle B_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $D$ и $D_1$ так, что $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Согласно условию задачи, для них выполняются следующие равенства: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Это соответствует первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство всех их соответствующих элементов. Для дальнейшего доказательства нам понадобятся следующие равенства:
1. $AC = A_1C_1$
2. $\angle A = \angle A_1$

Теперь рассмотрим треугольники $ACD$ и $A_1C_1D_1$. Сравним их элементы, используя данные из условия и выводы из предыдущего шага:
1. $\angle CAD = \angle C_1A_1D_1$ (поскольку это те же углы, что и $\angle A$ и $\angle A_1$, равенство которых мы установили).
2. $AC = A_1C_1$ (как соответствующие стороны равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$).
3. $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (это дано по условию задачи).

Таким образом, $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $ACD$ и $A_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, $AD = A_1D_1$.

Наконец, перейдем к доказательству равенства треугольников $BCD$ и $B_1C_1D_1$. Рассмотрим их элементы:
1. $BC = B_1C_1$ (дано по условию).
2. $\angle B = \angle B_1$ (дано по условию).
3. Сравним стороны $BD$ и $B_1D_1$. Так как точка $D$ лежит на стороне $AB$, то длина отрезка $BD$ равна $AB - AD$. Аналогично, $B_1D_1 = A_1B_1 - A_1D_1$. Из условия мы знаем, что $AB = A_1B_1$, а из доказанного выше следует, что $AD = A_1D_1$. Вычитая из равных отрезков равные отрезки, получаем, что $BD = B_1D_1$.

Мы установили, что в треугольниках $BCD$ и $B_1C_1D_1$ две стороны и угол между ними соответственно равны: $BC = B_1C_1$, $BD = B_1D_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$ доказано на основе последовательного применения признаков равенства треугольников.