Номер 10.7, страница 24 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.7. На рисунке 35 изображены отрезки $AB = BC$, $AD = DC$. Докажите, что $BD$ — биссектриса угла $ABC$.

Рис. 35

Дано:
На рисунке 35 изображены отрезки, для которых выполняются равенства: $AB = BC$ и $AD = DC$.

Доказать:
$BD$ — биссектриса угла $ABC$.

Доказательство:

Чтобы доказать, что отрезок $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, необходимо показать, что он делит угол $ABC$ на два равных угла, то есть $\angle ABD = \angle CBD$.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит треугольник $ABC$: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти треугольники по их элементам:

1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle CBD$ по условию задачи ($AB = BC$).
2. Сторона $AD$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $DC$ треугольника $\triangle CBD$ по условию задачи ($AD = DC$).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle CBD$.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В нашем случае, в треугольнике $\triangle ABD$ против стороны $AD$ лежит угол $\angle ABD$, а в треугольнике $\triangle CBD$ против равной ей стороны $DC$ лежит угол $\angle CBD$.

Значит, $\angle ABD = \angle CBD$.

Так как отрезок $BD$ делит угол $ABC$ на два равных угла, то, по определению, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ доказывается по третьему признаку (по трем сторонам, так как $AB=BC$, $AD=DC$ по условию, а сторона $BD$ — общая). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ABD = \angle CBD$. Следовательно, $BD$ является биссектрисой угла $ABC$.