Номер 10.9, страница 24 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.9. На рисунке 37 изображен треугольник ABC, $\angle ADB = 90^\circ$, $AD = DC$. Докажите, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Рис. 37

Для доказательства равенства углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник $ABC$: это $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$.

Сравним эти два треугольника по известным нам элементам:

1. Сторона $AD$ треугольника $\triangle ADB$ равна стороне $DC$ треугольника $\triangle CDB$ по условию задачи ($AD = DC$).
2. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle ADB = 90^\circ$ по условию. Так как углы $\angle ADB$ и $\angle CDB$ являются смежными (точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой), их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим угол $\angle CDB$: $\angle CDB = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$ сторона $AD$ равна стороне $DC$, сторона $BD$ — общая, и угол между этими сторонами $\angle ADB$ равен углу $\angle CDB$.

Следовательно, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Углу $\angle BAC$ (в $\triangle ADB$) соответствует угол $\angle BCA$ (в $\triangle CDB$). Значит, $\angle BAC = \angle BCA$, что и требовалось доказать.

Альтернативное объяснение основано на свойстве равнобедренного треугольника. В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ является одновременно:

• Высотой, так как он перпендикулярен стороне $AC$ ($\angle ADB = 90^\circ$).
• Медианой, так как он делит сторону $AC$ пополам ($AD = DC$).

Если в треугольнике высота, проведенная к стороне, является также и медианой, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Ответ: Утверждение доказано. В $\triangle ABC$ отрезок $BD$ является одновременно медианой и высотой, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA$.