Номер 10.6, страница 24 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

10.6. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $BK$ — медиана, $\angle ABK = 40^\circ$. Найдите величины углов $ABC$ и $KCB$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$ по условию, данный треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

$BK$ — это медиана, проведенная к основанию $AC$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине и высотой.

Нахождение угла ABC

Так как $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$. Из условия нам известно, что $\angle ABK = 40^{\circ}$, следовательно, $\angle KBC$ также равен $40^{\circ}$.

Величина угла $\angle ABC$ представляет собой сумму его частей:

$\angle ABC = \angle ABK + \angle KBC = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$.

Нахождение угла KCB

Угол $\angle KCB$ — это тот же самый угол, что и $\angle BCA$, так как точка $K$ является точкой на стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ это записывается как:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}$

Подставим известные значения: заменим $\angle BAC$ на равный ему $\angle BCA$ и используем найденное значение $\angle ABC = 80^{\circ}$:

$2 \cdot \angle BCA + 80^{\circ} = 180^{\circ}$

$2 \cdot \angle BCA = 180^{\circ} - 80^{\circ}$

$2 \cdot \angle BCA = 100^{\circ}$

$\angle BCA = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}$

Таким образом, $\angle KCB = 50^{\circ}$.

Также этот угол можно найти другим способом. Так как $BK$ является еще и высотой, то $\angle BKC = 90^{\circ}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$. Сумма его острых углов равна $90^{\circ}$, поэтому:

$\angle KCB = 90^{\circ} - \angle KBC = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$.

Ответ: величины углов: $\angle ABC = 80^{\circ}$ и $\angle KCB = 50^{\circ}$.