Номер 9.5, страница 22 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.5. а) Пользуясь данными рисунка 29, найдите $NK$ при условии, что треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Объясните ответ.

Рис. 29

б) Пользуясь данными рисунка 30, найдите $\angle BCA$ при условии, что треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Объясните ответ.

Рис. 30

а) По условию задачи треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Из определения равных треугольников следует, что их соответствующие стороны и углы равны.

Из рисунка 29 мы видим, что в треугольнике $ABC$ есть углы $\angle B = 40^\circ$ и $\angle C = 46^\circ$, а в треугольнике $MNK$ есть углы $\angle N = 40^\circ$ и $\angle K = 46^\circ$.

Поскольку $\angle B = \angle N = 40^\circ$ и $\angle C = \angle K = 46^\circ$, то вершина B треугольника $ABC$ соответствует вершине N треугольника $MNK$, а вершина C — вершине K.

Следовательно, сторона $NK$ в треугольнике $MNK$ является соответствующей стороне $BC$ в треугольнике $ABC$. Так как соответствующие стороны равных треугольников равны, то $NK = BC$.

Из рисунка 29 известно, что длина стороны $BC$ равна 26.

Таким образом, $NK = 26$.

Ответ: $NK = 26$.

б) По условию задачи треугольники $ABC$ и $MNK$ равны. Это означает, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны.

Из рисунка 30 нам даны следующие элементы:

• В треугольнике $ABC$: $\angle B = 45^\circ$, $BC = 30$.
• В треугольнике $MNK$: $\angle N = 45^\circ$, $NK = 30$, $\angle K = 32^\circ$.

Мы можем сопоставить равные элементы двух треугольников:

• $\angle B = \angle N = 45^\circ$.
• $BC = NK = 30$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Стороне $BC$ в $\triangle ABC$ противолежит $\angle A$. Стороне $NK$ в $\triangle MNK$ противолежит $\angle M$. Значит, $\angle A = \angle M$.

Также в равных треугольниках углы, прилежащие к равным сторонам, соответственно равны. К стороне $BC$ прилежат углы $\angle B$ и $\angle BCA$. К стороне $NK$ прилежат углы $\angle N$ и $\angle K$.

Поскольку $BC=NK$ и $\angle B = \angle N$, то и второй прилежащий угол должен быть равен соответствующему углу. То есть, $\angle BCA$ должен быть равен $\angle K$.

Из рисунка мы знаем, что $\angle K = 32^\circ$.

Следовательно, $\angle BCA = 32^\circ$.

Ответ: $\angle BCA = 32^\circ$.