Номер 7, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Упростите выражение:

а) $3\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{45}$;

б) $\frac{15}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}$;

в) $(2 - \sqrt{17})(2 + \sqrt{17})$;

г) $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - 10$.

а) Для упрощения выражения $3\sqrt{5} + 2\sqrt{20} - \sqrt{45}$ необходимо привести все слагаемые к общему виду. Для этого упростим радикалы, вынеся множитель из-под знака корня.

Разложим подкоренные выражения на множители:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$3\sqrt{5} + 2 \cdot (2\sqrt{5}) - 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$

Сложим и вычтем коэффициенты при общем множителе $\sqrt{5}$:

$(3 + 4 - 3)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Ответ: $4\sqrt{5}$.

б) В выражении $\frac{15}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{3}$ сначала избавимся от иррациональности в знаменателе первого слагаемого. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$\frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

Складываем слагаемые с одинаковым радикалом:

$(5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

Ответ: $7\sqrt{3}$.

в) Выражение $(2 - \sqrt{17})(2 + \sqrt{17})$ представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{17}$.

$(2 - \sqrt{17})(2 + \sqrt{17}) = 2^2 - (\sqrt{17})^2 = 4 - 17 = -13$

Ответ: $-13$.

г) Для упрощения выражения $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 - 10$ сначала раскроем скобки, используя формулу "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{3}$.

$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$7 + 3 - 2\sqrt{21} = 10 - 2\sqrt{21}$

Теперь подставим это в исходное выражение и выполним вычитание:

$(10 - 2\sqrt{21}) - 10 = 10 - 2\sqrt{21} - 10 = -2\sqrt{21}$

Ответ: $-2\sqrt{21}$.