Номер 9, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Внесите множитель под знак корня:

а) $(c-2)\sqrt{3c-6}$;

б) $(n-9)\sqrt{45-5n}$.

а) Чтобы внести множитель $(c-2)$ под знак корня в выражении $(c-2)\sqrt{3c-6}$, необходимо определить знак этого множителя. Для этого сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $c$.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$3c - 6 \ge 0$

$3c \ge 6$

$c \ge 2$

На полученной области определения $c \ge 2$ множитель $(c-2)$ также является неотрицательным, то есть $(c-2) \ge 0$.

Поскольку множитель неотрицательный, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат, по правилу $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 B}$ для $A \ge 0$:

$(c-2)\sqrt{3c-6} = \sqrt{(c-2)^2 \cdot (3c-6)}$

Теперь упростим выражение под корнем. Для этого разложим на множители выражение $3c-6$:

$3c-6 = 3(c-2)$

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{(c-2)^2 \cdot 3(c-2)} = \sqrt{3 \cdot (c-2)^2 \cdot (c-2)} = \sqrt{3(c-2)^3}$

Ответ: $\sqrt{3(c-2)^3}$

б) Рассмотрим выражение $(n-9)\sqrt{45-5n}$. Аналогично предыдущему пункту, начнем с нахождения ОДЗ и определения знака множителя $(n-9)$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$45 - 5n \ge 0$

$45 \ge 5n$

$9 \ge n$, или $n \le 9$

На области определения $n \le 9$ множитель $(n-9)$ является неположительным, то есть $(n-9) \le 0$.

Если множитель $A$ отрицательный или равен нулю ($A \le 0$), то при внесении его под знак корня используется правило $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 B}$.

Следовательно, внося $(n-9)$ под корень, мы должны поставить знак "минус" перед корнем:

$(n-9)\sqrt{45-5n} = -\sqrt{(n-9)^2 \cdot (45-5n)}$

Упростим подкоренное выражение. Разложим на множители $45-5n$:

$45-5n = 5(9-n)$

Также заметим, что $(n-9)^2 = (-(9-n))^2 = (9-n)^2$. Это позволит нам удобнее сгруппировать члены:

$-\sqrt{(9-n)^2 \cdot 5(9-n)} = -\sqrt{5 \cdot (9-n)^2 \cdot (9-n)} = -\sqrt{5(9-n)^3}$

Ответ: $-\sqrt{5(9-n)^3}$