Номер 8, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите область определения выражения

$\sqrt{\frac{x}{5} - \frac{x}{3} + 2} + \sqrt{2x + \frac{1}{2}}$

Область определения данного выражения находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе двух линейных неравенств:

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства
Решим неравенство $\frac{x}{5} - \frac{x}{3} + 2 \ge 0$.
Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю 15:$$ \frac{3 \cdot x}{15} - \frac{5 \cdot x}{15} + \frac{2 \cdot 15}{15} \ge 0 $$$$ \frac{3x - 5x + 30}{15} \ge 0 $$$$ \frac{30 - 2x}{15} \ge 0 $$Так как знаменатель дроби (15) является положительным числом, знак дроби зависит только от знака числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:$$ 30 - 2x \ge 0 $$Перенесем $2x$ в правую часть:$$ 30 \ge 2x $$Разделим обе части на 2:$$ \frac{30}{2} \ge x $$$$ 15 \ge x $$Ответ: $x \le 15$.

2. Решение второго неравенства
Решим неравенство $2x + \frac{1}{2} \ge 0$.
Перенесем $\frac{1}{2}$ в правую часть с противоположным знаком:$$ 2x \ge -\frac{1}{2} $$Разделим обе части на 2:$$ x \ge -\frac{1}{4} $$Ответ: $x \ge -\frac{1}{4}$.

3. Нахождение области определения выражения
Область определения исходного выражения — это пересечение множеств решений обоих неравенств. Мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \le 15$ и $x \ge -\frac{1}{4}$.
На числовой оси это соответствует промежутку между $-\frac{1}{4}$ и $15$, включая концы.
Это можно записать в виде двойного неравенства:$$ -\frac{1}{4} \le x \le 15 $$Или в виде отрезка. Число 15 является целой частью, полученной из неправильной дроби $\frac{30}{2}$.
Ответ: $[-\frac{1}{4}; \textbf{15}]$.