Номер 2, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Найдите все значения $a$, при которых выражения $a + \sqrt{15}$ и $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ принимают целые значения.

Интересно знать.

Международная студенческая олимпиада по математике проводится ежегодно, начиная с 1994 г. В ней принимают участие сотни студентов из десятков университетов мира. Белорусские студенты принимают участие в этой олимпиаде с 2001 г. За 2001–2018 гг. команда Беларуси завоевала 40 золотых, 35 серебряных и 20 бронзовых медалей. Победители первых студенческих олимпиад по математике ведут активную научную и педагогическую деятельность.

По условию задачи, выражения $a + \sqrt{15}$ и $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ должны принимать целые значения. Обозначим эти целые значения как $k$ и $m$ соответственно:

$a + \sqrt{15} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел)
$\frac{1}{a} - \sqrt{15} = m$, где $m \in \mathbb{Z}$

Из этих уравнений выразим $a$ и $\frac{1}{a}$:

$a = k - \sqrt{15}$
$\frac{1}{a} = m + \sqrt{15}$

Поскольку произведение $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \neq 0$), мы можем перемножить полученные выражения:

$(k - \sqrt{15})(m + \sqrt{15}) = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ в обратном порядке, или просто перемножая члены:

$km + k\sqrt{15} - m\sqrt{15} - (\sqrt{15})^2 = 1$

$km + (k - m)\sqrt{15} - 15 = 1$

Сгруппируем члены так, чтобы в одной части уравнения были рациональные числа, а в другой — иррациональные:

$(k - m)\sqrt{15} = 16 - km$

В левой части этого уравнения стоит произведение целого числа $(k - m)$ на иррациональное число $\sqrt{15}$. В правой части стоит целое число $(16 - km)$, так как $k$ и $m$ — целые. Равенство между рациональным и иррациональным числом возможно только в том случае, если обе части равны нулю. Так как $\sqrt{15} \neq 0$, то для равенства левой части нулю необходимо, чтобы множитель $(k-m)$ был равен нулю.

Таким образом, мы приходим к системе уравнений:

$ \begin{cases} k - m = 0 \\ 16 - km = 0 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения следует, что $k = m$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$16 - k \cdot k = 0$

$k^2 = 16$

Это уравнение имеет два целых решения для $k$:

$k_1 = 4$ и $k_2 = -4$.

Теперь найдем соответствующие значения $a$, используя ранее выведенную формулу $a = k - \sqrt{15}$:

1. Если $k = 4$, то $a = 4 - \sqrt{15}$.
2. Если $k = -4$, то $a = -4 - \sqrt{15}$.

Проведем проверку для найденных значений $a$.

Для $a = 4 - \sqrt{15}$:
Первое выражение: $a + \sqrt{15} = (4 - \sqrt{15}) + \sqrt{15} = 4$. Это целое число.
Второе выражение: $\frac{1}{a} - \sqrt{15} = \frac{1}{4 - \sqrt{15}} - \sqrt{15}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $4 + \sqrt{15}$: $\frac{1 \cdot (4 + \sqrt{15})}{(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15})} - \sqrt{15} = \frac{4 + \sqrt{15}}{16-15} - \sqrt{15} = 4 + \sqrt{15} - \sqrt{15} = 4$. Это целое число.

Для $a = -4 - \sqrt{15}$:
Первое выражение: $a + \sqrt{15} = (-4 - \sqrt{15}) + \sqrt{15} = -4$. Это целое число.
Второе выражение: $\frac{1}{a} - \sqrt{15} = \frac{1}{-4 - \sqrt{15}} - \sqrt{15} = \frac{-1}{4 + \sqrt{15}} - \sqrt{15}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $4 - \sqrt{15}$: $\frac{-1 \cdot (4 - \sqrt{15})}{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} - \sqrt{15} = \frac{-(4 - \sqrt{15})}{16-15} - \sqrt{15} = -4 + \sqrt{15} - \sqrt{15} = -4$. Это целое число.

Оба найденных значения $a$ удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $a = 4 - \sqrt{15}$ и $a = -4 - \sqrt{15}$.