Номер 1.33, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.33. Найдите значения числа $a$, при которых уравнение

$x^2 = a - 2$:

a) имеет два корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней.

Проанализируем уравнение $x^2 = a - 2$. Левая часть уравнения, $x^2$, представляет собой квадрат действительного числа, поэтому её значение всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$. Количество действительных корней данного уравнения зависит от знака выражения в правой части, $a-2$.

а) имеет два корня;
Уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда правая часть уравнения строго положительна. В этом случае корни будут равны $x = \sqrt{a-2}$ и $x = -\sqrt{a-2}$.
Это условие можно записать в виде неравенства: $$a - 2 > 0$$ Решая это неравенство относительно $a$, получаем: $$a > 2$$ Ответ: $a > 2$.

б) имеет только один корень;
Уравнение имеет ровно один действительный корень, если его правая часть равна нулю. В этом случае уравнение примет вид $x^2 = 0$, единственным корнем которого является $x=0$.
Это условие можно записать в виде уравнения: $$a - 2 = 0$$ Решая это уравнение относительно $a$, получаем: $$a = 2$$ Ответ: $a = 2$.

в) не имеет корней.
Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Это условие можно записать в виде неравенства: $$a - 2 < 0$$ Решая это неравенство относительно $a$, получаем: $$a < 2$$ Ответ: $a < 2$.