Номер 1.34, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.34. Верно ли, что при любых значениях числа $b$ уравнение $x^2 = 4b^2 + 4b + 1$ имеет два корня?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проанализировать правую часть уравнения $x^2 = 4b^2 + 4b + 1$. Количество корней этого уравнения зависит от знака выражения $4b^2 + 4b + 1$.

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$:

$4b^2 + 4b + 1 = (2b)^2 + 2 \cdot (2b) \cdot 1 + 1^2 = (2b + 1)^2$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$x^2 = (2b + 1)^2$

Уравнение вида $x^2 = A$ имеет:

• два различных корня, если $A > 0$;
• один корень, если $A = 0$;
• не имеет действительных корней, если $A < 0$.

В нашем случае $A = (2b + 1)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(2b + 1)^2 \ge 0$ при любых значениях $b$. Это означает, что уравнение всегда будет иметь хотя бы один действительный корень.

Уравнение будет иметь два различных корня, если правая часть строго положительна, то есть $(2b + 1)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех значений $b$, кроме того, при котором основание степени равно нулю.

Найдем значение $b$, при котором правая часть обращается в ноль:

$(2b + 1)^2 = 0$

$2b + 1 = 0$

$2b = -1$

$b = -\frac{1}{2}$

При $b = -\frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $x^2 = 0$, и у него есть только один корень $x=0$.

Поскольку мы нашли значение $b$, при котором уравнение имеет не два корня, а только один, то утверждение "при любых значениях числа b уравнение ... имеет два корня" является неверным.

Ответ: Нет, не верно. При значении $b = -\frac{1}{2}$ уравнение имеет только один корень.