Номер 1.26, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.26. Примените формулу квадрата суммы (квадрата разности) двух выражений и вычислите:

а) $ \sqrt{2,3^2 + 2 \cdot 2,3 \cdot 6,7 + 6,7^2} $;

б) $ \sqrt{\left(7\frac{1}{5}\right)^2 - 2 \cdot 7\frac{1}{5} \cdot 3,2 + 3,2^2} $;

в) $ \sqrt{2,26^2 - 2,26 \cdot 2,02 + 1,01^2} $;

г) $ \sqrt{\left(3\frac{3}{4}\right)^2 + 4,2 \cdot 3,75 + 2,1^2} $.

Для решения данных задач мы воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Также будем использовать свойство корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.

а) $\sqrt{2,3^2 + 2 \cdot 2,3 \cdot 6,7 + 6,7^2}$

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат суммы, где $a = 2,3$ и $b = 6,7$.
Применяем формулу квадрата суммы в обратном порядке: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

$\sqrt{2,3^2 + 2 \cdot 2,3 \cdot 6,7 + 6,7^2} = \sqrt{(2,3 + 6,7)^2} = \sqrt{9^2}$

Так как $9 > 0$, то $\sqrt{9^2} = 9$.

Ответ: $\textbf{9}$

б) $\sqrt{\left(7\frac{1}{5}\right)^2 - 2 \cdot 7\frac{1}{5} \cdot 3,2 + 3,2^2}$

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат разности, где $a = 7\frac{1}{5}$ и $b = 3,2$.
Применяем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Для удобства вычислений преобразуем смешанную дробь в десятичную: $7\frac{1}{5} = 7,2$.

$\sqrt{(7,2)^2 - 2 \cdot 7,2 \cdot 3,2 + 3,2^2} = \sqrt{(7,2 - 3,2)^2} = \sqrt{4^2}$

Так как $4 > 0$, то $\sqrt{4^2} = 4$.

Ответ: $\textbf{4}$

в) $\sqrt{2,26^2 - 2,26 \cdot 2,02 + 1,01^2}$

Заметим, что средний член выражения можно преобразовать: $2,26 \cdot 2,02 = 2,26 \cdot (2 \cdot 1,01) = 2 \cdot 2,26 \cdot 1,01$.
Теперь выражение под корнем соответствует формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a = 2,26$ и $b = 1,01$.

$\sqrt{2,26^2 - 2 \cdot 2,26 \cdot 1,01 + 1,01^2} = \sqrt{(2,26 - 1,01)^2} = \sqrt{1,25^2}$

Так как $1,25 > 0$, то $\sqrt{1,25^2} = 1,25$.
Представим десятичную дробь в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $\textbf{1}\frac{1}{4}$

г) $\sqrt{\left(3\frac{3}{4}\right)^2 + 4,2 \cdot 3,75 + 2,1^2}$

Преобразуем смешанную дробь в десятичную: $3\frac{3}{4} = 3,75$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{3,75^2 + 4,2 \cdot 3,75 + 2,1^2}$.
Заметим, что средний член выражения можно преобразовать: $4,2 \cdot 3,75 = (2 \cdot 2,1) \cdot 3,75 = 2 \cdot 3,75 \cdot 2,1$.
Теперь выражение под корнем соответствует формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где $a = 3,75$ и $b = 2,1$.

$\sqrt{3,75^2 + 2 \cdot 3,75 \cdot 2,1 + 2,1^2} = \sqrt{(3,75 + 2,1)^2} = \sqrt{5,85^2}$

Так как $5,85 > 0$, то $\sqrt{5,85^2} = 5,85$.
Представим десятичную дробь в виде смешанного числа: $5,85 = 5\frac{85}{100} = 5\frac{17}{20}$.

Ответ: $\textbf{5}\frac{17}{20}$