Номер 1.25, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.25. Примените формулу разности квадратов двух выражений и вычислите:

а) $\sqrt{145^2 - 144^2}$;

б) $\sqrt{3,13^2 - 3,12^2}$;

в) $\sqrt{\left(\frac{25}{49}\right)^2 - \left(\frac{24}{49}\right)^2}$;

г) $\sqrt{\left(6\frac{3}{8}\right)^2 - \left(5\frac{5}{8}\right)^2}$.

Для решения всех примеров воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Применим формулу к выражению $\sqrt{145^2 - 144^2}$, где $a = 145$ и $b = 144$.

$\sqrt{145^2 - 144^2} = \sqrt{(145 - 144)(145 + 144)}$

Сначала вычислим значения в скобках:

$145 - 144 = 1$

$145 + 144 = 289$

Теперь подставим результаты обратно и вычислим корень:

$\sqrt{1 \cdot 289} = \sqrt{289} = 17$

Ответ: 17.

б) Применим формулу к выражению $\sqrt{3,13^2 - 3,12^2}$, где $a = 3,13$ и $b = 3,12$.

$\sqrt{3,13^2 - 3,12^2} = \sqrt{(3,13 - 3,12)(3,13 + 3,12)}$

Вычислим значения в скобках:

$3,13 - 3,12 = 0,01$

$3,13 + 3,12 = 6,25$

Подставим и вычислим результат:

$\sqrt{0,01 \cdot 6,25} = \sqrt{0,0625} = 0,25$

Ответ: 0,25.

в) Применим формулу к выражению $\sqrt{(\frac{25}{49})^2 - (\frac{24}{49})^2}$, где $a = \frac{25}{49}$ и $b = \frac{24}{49}$.

$\sqrt{(\frac{25}{49})^2 - (\frac{24}{49})^2} = \sqrt{(\frac{25}{49} - \frac{24}{49})(\frac{25}{49} + \frac{24}{49})}$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{25}{49} - \frac{24}{49} = \frac{1}{49}$

$\frac{25}{49} + \frac{24}{49} = \frac{49}{49} = 1$

Подставим и извлечем корень:

$\sqrt{\frac{1}{49} \cdot 1} = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Для выражения $\sqrt{(6\frac{3}{8})^2 - (5\frac{5}{8})^2}$ сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$a = 6\frac{3}{8} = \frac{6 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{51}{8}$

$b = 5\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{45}{8}$

Теперь применим формулу разности квадратов:

$\sqrt{(\frac{51}{8})^2 - (\frac{45}{8})^2} = \sqrt{(\frac{51}{8} - \frac{45}{8})(\frac{51}{8} + \frac{45}{8})}$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{51}{8} - \frac{45}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$\frac{51}{8} + \frac{45}{8} = \frac{96}{8} = 12$

Подставим полученные значения и вычислим результат:

$\sqrt{\frac{3}{4} \cdot 12} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3.