Номер 1.80, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.80. Из чисел $ \frac{7}{11} $; $ \sqrt{5} $; $ \frac{3}{19} $; $ \sqrt{4,9} $ выберите те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Какому числовому множеству принадлежат выбранные числа?

Для решения задачи необходимо определить, какие из представленных чисел являются рациональными, а какие — иррациональными.

• Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, а $ q $ — натуральное число. Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
• Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $. Их десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

Таким образом, вопрос "какие числа нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби" сводится к нахождению иррациональных чисел среди заданных.

Проанализируем каждое число:

1. $ \frac{7}{11} $ — это обыкновенная дробь, то есть рациональное число. При делении числителя на знаменатель получается бесконечная периодическая дробь: $ 7 \div 11 = 0.6363... = 0.(63) $.
2. $ \sqrt{5} $ — это иррациональное число, поскольку 5 не является полным квадратом целого числа. Его десятичное представление — бесконечное и непериодическое ($ \approx 2.236067... $).
3. $ \frac{3}{19} $ — это также рациональное число, представленное в виде дроби. Его десятичное представление — бесконечная периодическая дробь: $ 3 \div 19 = 0.157894736842105263... = 0.(157894736842105263) $.
4. $ \sqrt{4.9} $ — для анализа преобразуем число: $ \sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}} $. Поскольку знаменатель $ \sqrt{10} $ является иррациональным числом (10 не полный квадрат), то и все число $ \frac{7}{\sqrt{10}} $ является иррациональным.

На основе анализа даем ответы на поставленные вопросы.

Выберите те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
Нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби иррациональные числа. Из данного списка это $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{4.9} $.
Ответ: $ \sqrt{5} $; $ \sqrt{4.9} $.

Какому числовому множеству принадлежат выбранные числа?:
Числа, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, образуют множество иррациональных чисел.
Ответ: Множеству иррациональных чисел.