Номер 1.73, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.73. Верно ли, что:

a) $\sqrt{29} + \sqrt{41} > 11;$

б) $\sqrt{79} + \sqrt{13} < 13?$

а) Проверим истинность неравенства $\sqrt{29} + \sqrt{41} > 11$.

Для этого оценим значения корней, сравнивая подкоренные выражения с ближайшими к ним точными квадратами, которые меньше их.

1. Оценим $\sqrt{29}$. Ближайший полный квадрат, меньший 29, это 25.

Поскольку $29 > 25$, то $\sqrt{29} > \sqrt{25}$, из чего следует, что $\sqrt{29} > 5$.

2. Оценим $\sqrt{41}$. Ближайший полный квадрат, меньший 41, это 36.

Поскольку $41 > 36$, то $\sqrt{41} > \sqrt{36}$, из чего следует, что $\sqrt{41} > 6$.

3. Теперь сложим полученные строгие неравенства:

$\sqrt{29} + \sqrt{41} > 5 + 6$

$\sqrt{29} + \sqrt{41} > 11$

Неравенство подтвердилось. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: да.

б) Проверим истинность неравенства $\sqrt{79} + \sqrt{13} < 13$.

Для этого оценим значения корней, сравнивая подкоренные выражения с ближайшими к ним точными квадратами, которые больше их.

1. Оценим $\sqrt{79}$. Ближайший полный квадрат, больший 79, это 81.

Поскольку $79 < 81$, то $\sqrt{79} < \sqrt{81}$, из чего следует, что $\sqrt{79} < 9$.

2. Оценим $\sqrt{13}$. Ближайший полный квадрат, больший 13, это 16.

Поскольку $13 < 16$, то $\sqrt{13} < \sqrt{16}$, из чего следует, что $\sqrt{13} < 4$.

3. Теперь сложим полученные строгие неравенства:

$\sqrt{79} + \sqrt{13} < 9 + 4$

$\sqrt{79} + \sqrt{13} < 13$

Неравенство подтвердилось. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: да.