Номер 1.77, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.77. Зная, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, оцените значение выражения:

a) $2\sqrt{5} + \sqrt{3}$;

б) $3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Нам даны следующие оценки:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

а) Чтобы оценить значение выражения $2\sqrt{5} + \sqrt{3}$, сначала оценим значение $2\sqrt{5}$. Для этого умножим все части неравенства $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ на 2. Так как 2 - положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot 2,2 < 2\sqrt{5} < 2 \cdot 2,3$

$4,4 < 2\sqrt{5} < 4,6$

Теперь сложим почленно полученное неравенство $4,4 < 2\sqrt{5} < 4,6$ и исходное неравенство $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. При сложении неравенств одинакового знака мы складываем их левые и правые части соответственно:

$4,4 + 1,7 < 2\sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,6 + 1,8$

$6,1 < 2\sqrt{5} + \sqrt{3} < 6,4$

Ответ: оценка значения выражения: $6,1 < 2\sqrt{5} + \sqrt{3} < 6,4$. Так как значение выражения находится в интервале от 6,1 до 6,4, его целая часть равна 6.

б) Чтобы оценить значение выражения $3\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$, представим его в виде суммы $3\sqrt{5} + (-2\sqrt{3})$ и оценим каждое слагаемое.

1. Оценим $3\sqrt{5}$. Умножим неравенство $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ на 3:

$3 \cdot 2,2 < 3\sqrt{5} < 3 \cdot 2,3$

$6,6 < 3\sqrt{5} < 6,9$

2. Оценим $-2\sqrt{3}$. Сначала найдем оценку для $2\sqrt{3}$, умножив неравенство $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$ на 2:

$2 \cdot 1,7 < 2\sqrt{3} < 2 \cdot 1,8$

$3,4 < 2\sqrt{3} < 3,6$

Теперь умножим все части неравенства $3,4 < 2\sqrt{3} < 3,6$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-3,6 < -2\sqrt{3} < -3,4$

3. Теперь сложим почленно неравенства для $3\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{3}$:

$6,6 + (-3,6) < 3\sqrt{5} + (-2\sqrt{3}) < 6,9 + (-3,4)$

$3 < 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} < 3,5$

Ответ: оценка значения выражения: $3 < 3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} < 3,5$. Так как значение выражения находится в интервале от 3 до 3,5, его целая часть равна 3.