Номер 1.72, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.72. Найдите все целые числа, находящиеся на координатной прямой между числами:

а) $\sqrt{31}$ и $\sqrt{89}$;

б) $-\sqrt{17}$ и $\sqrt{26}$;

в) $-\sqrt{120}$ и $-\sqrt{8}$.

а) $\sqrt{31}$ и $\sqrt{89}$

Чтобы найти все целые числа, расположенные между $\sqrt{31}$ и $\sqrt{89}$, оценим значения этих корней. Для этого найдем ближайшие к подкоренным выражениям квадраты целых чисел.

1. Оценим $\sqrt{31}$.
Число 31 находится между квадратами чисел 5 и 6: $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.
Так как $25 < 31 < 36$, то и $\sqrt{25} < \sqrt{31} < \sqrt{36}$.
Следовательно, $5 < \sqrt{31} < 6$.

2. Оценим $\sqrt{89}$.
Число 89 находится между квадратами чисел 9 и 10: $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$.
Так как $81 < 89 < 100$, то и $\sqrt{81} < \sqrt{89} < \sqrt{100}$.
Следовательно, $9 < \sqrt{89} < 10$.

3. Найдем целые числа.
Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $\sqrt{31} < x < \sqrt{89}$.
Исходя из наших оценок, это неравенство эквивалентно $5,... < x < 9,...$.
Целые числа, которые находятся в этом промежутке: 6, 7, 8, 9.
Ответ: 6, 7, 8, 9.

б) $-\sqrt{17}$ и $\sqrt{26}$

Найдем все целые числа, расположенные между $-\sqrt{17}$ и $\sqrt{26}$.

1. Оценим $-\sqrt{17}$.
Сначала оценим $\sqrt{17}$. Число 17 находится между $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.
Так как $16 < 17 < 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$.
Умножив все части неравенства на -1, мы меняем знаки неравенства на противоположные: $-5 < -\sqrt{17} < -4$.

2. Оценим $\sqrt{26}$.
Число 26 находится между $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$.
Так как $25 < 26 < 36$, то $5 < \sqrt{26} < 6$.

3. Найдем целые числа.
Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{17} < x < \sqrt{26}$.
Это эквивалентно $-4,... < x < 5,...$.
Целые числа в этом интервале: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

в) $-\sqrt{120}$ и $-\sqrt{8}$

Найдем все целые числа, расположенные между $-\sqrt{120}$ и $-\sqrt{8}$.

1. Оценим $-\sqrt{120}$.
Сначала оценим $\sqrt{120}$. Число 120 находится между $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.
Так как $100 < 120 < 121$, то $10 < \sqrt{120} < 11$.
Умножив на -1, получаем: $-11 < -\sqrt{120} < -10$.

2. Оценим $-\sqrt{8}$.
Сначала оценим $\sqrt{8}$. Число 8 находится между $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$.
Так как $4 < 8 < 9$, то $2 < \sqrt{8} < 3$.
Умножив на -1, получаем: $-3 < -\sqrt{8} < -2$.

3. Найдем целые числа.
Нам нужно найти все целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{120} < x < -\sqrt{8}$.
Это эквивалентно $-10,... < x < -2,...$.
Целые числа в этом интервале: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3.
Ответ: -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3.