Номер 1.65, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.65. Из чисел $\frac{5}{9}$; $\sqrt{15}$; $\frac{23}{41}$; $\sqrt{0,2}$ выберите те, которые можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Какому числовому множеству принадлежат выбранные числа?

Чтобы определить, какие из данных чисел можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, необходимо проанализировать каждое из них. Только рациональные числа (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число) могут быть представлены в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

1. Выбор чисел, которые можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби
Рассмотрим каждое число:

• $\frac{5}{9}$: Это рациональное число. При делении числителя на знаменатель получаем бесконечную периодическую десятичную дробь: $5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$. Следовательно, это число подходит.
• $\sqrt{15}$: Так как число 15 не является полным квадратом, $\sqrt{15}$ — это иррациональное число. Его десятичное представление бесконечное и непериодическое ($\approx 3,8729...$). Следовательно, это число не подходит.
• $\frac{23}{41}$: Это рациональное число. Знаменатель 41 является простым числом, отличным от 2 и 5, поэтому при переводе в десятичную дробь получится бесконечная периодическая дробь: $23 \div 41 = 0,5609756097... = 0,(56097)$. Следовательно, это число подходит.
• $\sqrt{0,2}$: Можно записать как $\sqrt{\frac{2}{10}} = \sqrt{\frac{1}{5}}$. Так как 5 не является полным квадратом, $\sqrt{\frac{1}{5}}$ — это иррациональное число. Его десятичное представление бесконечное и непериодическое ($\approx 0,4472...$). Следовательно, это число не подходит.

Ответ: $\frac{5}{9}$ и $\frac{23}{41}$.

2. Определение числового множества, которому принадлежат выбранные числа
Выбранные числа $\frac{5}{9}$ и $\frac{23}{41}$ являются дробями, состоящими из целых чисел, что соответствует определению рациональных чисел. Множество чисел, которые можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, является множеством рациональных чисел. Ответ: множество рациональных чисел, которое обозначается символом $\mathbb{Q}$.