Номер 1.63, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.63. Какие из чисел $\sqrt{16}$; $\sqrt{1}$; $\sqrt{7}$; $\sqrt{0,49}$; $\sqrt{3,6}$ являются иррациональными?

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Квадратный корень из числа является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является точным квадратом рационального числа.

$\sqrt{16}$: Так как $4^2 = 16$, то $\sqrt{16} = 4$. Число 4 является целым, а значит и рациональным числом. Ответ: рациональное.

$\sqrt{1}$: Так как $1^2 = 1$, то $\sqrt{1} = 1$. Число 1 является целым, а значит и рациональным числом. Ответ: рациональное.

$\sqrt{7}$: Число 7 не является точным квадратом какого-либо целого или рационального числа. Его квадратный корень является бесконечной непериодической десятичной дробью, то есть иррациональным числом. Ответ: иррациональное.

$\sqrt{0,49}$: Представим десятичную дробь $0,49$ в виде обыкновенной: $0,49 = \frac{49}{100}$. Числитель и знаменатель являются точными квадратами: $49 = 7^2$ и $100 = 10^2$. Тогда $\sqrt{0,49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{100}} = \frac{7}{10} = 0,7$. Это рациональное число. Ответ: рациональное.

$\sqrt{3,6}$: Представим десятичную дробь $3,6$ в виде обыкновенной: $3,6 = \frac{36}{10}$. Тогда $\sqrt{3,6} = \sqrt{\frac{36}{10}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$. Поскольку число 10 не является точным квадратом, $\sqrt{10}$ — иррациональное число. В результате деления рационального числа (6) на иррациональное ($\sqrt{10}$) получается иррациональное число. Ответ: иррациональное.