Номер 1.67, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.67. На координатной прямой отметьте приближенные значения чисел $\sqrt{2}$; $\sqrt{5}$ $\sqrt{7}$ (в качестве единичного отрезка возьмите 10 клеток тетради).

Для того чтобы отметить данные числа на координатной прямой, необходимо сначала найти их приближенные десятичные значения. В качестве единичного отрезка, согласно условию, возьмем 10 клеток. Это означает, что число 1 будет находиться на расстоянии 10 клеток от 0, число 2 — на расстоянии 20 клеток, и так далее.

$\sqrt{2}$

Найдем приближенное значение для $\sqrt{2}$. Так как $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то значение $\sqrt{2}$ находится между 1 и 2. С помощью калькулятора или методом подбора находим: $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Чтобы отметить это значение на координатной прямой, умножим его на длину единичного отрезка в клетках: $1.414 \times 10 = 14.14$ клеток. Это означает, что точка $\sqrt{2}$ будет находиться на расстоянии примерно 14 клеток от начала координат (точки 0).

Для точного построения можно воспользоваться теоремой Пифагора. Строим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 (10 клеток). Его гипотенуза будет равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. С помощью циркуля откладываем длину этой гипотенузы на координатной прямой от точки 0.

Ответ: 1,414.

$\sqrt{5}$

Найдем приближенное значение для $\sqrt{5}$. Так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то значение $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Более точное значение: $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Вычисляем положение на прямой в клетках: $2.236 \times 10 = 22.36$ клеток. Точка $\sqrt{5}$ будет находиться на расстоянии примерно 22.5 клетки от начала координат.

Геометрически $\sqrt{5}$ можно построить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 1 (10 клеток) и 2 (20 клеток). По теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. Откладываем эту длину на прямой с помощью циркуля.

Ответ: 2,236.

$\sqrt{7}$

Найдем приближенное значение для $\sqrt{7}$. Так как $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то значение $\sqrt{7}$ также находится между 2 и 3. Более точное значение: $\sqrt{7} \approx 2.646$.

Вычисляем положение на прямой в клетках: $2.646 \times 10 = 26.46$ клеток. Точка $\sqrt{7}$ будет находиться на расстоянии почти 26.5 клеток от начала координат.

Геометрически построить $\sqrt{7}$ можно, например, как катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна 4 (40 клеток), а другой катет равен 3 (30 клеток). По теореме Пифагора, искомый катет будет равен $\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$. Откладываем длину этого катета на координатной прямой от нуля.

Ответ: 2,646.