Номер 1.74, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.74. Сравните числа:

a) $\sqrt{26}$ и 5;

б) $\sqrt{3}$ и 1,7;

в) $\pi$ и 3,141;

г) $\frac{\pi}{2}$ и $\sqrt{2}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{26}$ и $5$, возведем оба числа в квадрат, так как они оба положительные. При возведении в квадрат положительных чисел знак неравенства сохраняется.

Квадрат числа $\sqrt{26}$ равен $(\sqrt{26})^2 = 26$.

Квадрат числа $5$ равен $5^2 = 25$.

Так как $26 > 25$, то и исходное число $\sqrt{26}$ больше, чем $5$.

Ответ: $\sqrt{26} > 5$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$ и $1,7$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Квадрат числа $\sqrt{3}$ равен $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Квадрат числа $1,7$ равен $1,7^2 = 2,89$.

Поскольку $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2,89}$, следовательно, $\sqrt{3} > 1,7$.

Ответ: $\sqrt{3} > 1,7$.

в) Для сравнения чисел $\pi$ и $3,141$ воспользуемся известным приближенным значением числа $\pi$.

Число $\pi$ — это бесконечная непериодическая десятичная дробь: $\pi \approx 3,14159265...$

Сравниваем $\pi \approx 3,14159...$ и $3,141$.

Первые три цифры после запятой у обоих чисел совпадают (1, 4, 1). Однако четвертая цифра после запятой у числа $\pi$ равна 5, а у числа $3,141$ можно считать равной 0. Так как $5 > 0$, то число $\pi$ больше, чем $3,141$.

Ответ: $\pi > 3,141$.

г) Чтобы сравнить числа $\frac{\pi}{2}$ и $\sqrt{2}$, возведем оба положительных числа в квадрат.

Квадрат числа $\frac{\pi}{2}$ равен $(\frac{\pi}{2})^2 = \frac{\pi^2}{4}$.

Квадрат числа $\sqrt{2}$ равен $(\sqrt{2})^2 = 2$.

Теперь нужно сравнить дроби $\frac{\pi^2}{4}$ и $2$. Это равносильно сравнению чисел $\pi^2$ и $2 \times 4 = 8$.

Возьмем приближенное значение $\pi > 3,14$.

Тогда $\pi^2 > (3,14)^2 = 9,8596$.

Поскольку $9,8596 > 8$, можно сделать вывод, что $\pi^2 > 8$.

Следовательно, $\frac{\pi^2}{4} > 2$, а значит и $\frac{\pi}{2} > \sqrt{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} > \sqrt{2}$.