Номер 1.76, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.76. Найдите все целые:

a) положительные решения неравенства $3x \le \sqrt{37}$;

б) отрицательные решения неравенства $-2x \le \sqrt{63}$.

а) положительные решения неравенства $3x \le \sqrt{37}$;

Решим данное неравенство относительно $x$. Для этого разделим обе части неравенства на 3:

$x \le \frac{\sqrt{37}}{3}$

Чтобы оценить значение правой части, внесем 3 под знак корня:

$x \le \sqrt{\frac{37}{3^2}} = \sqrt{\frac{37}{9}}$

Представим неправильную дробь $\frac{37}{9}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$x \le \sqrt{\mathbf{4}\frac{1}{9}}$

Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$. Поскольку $4 < 4\frac{1}{9} < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{4\frac{1}{9}} < \sqrt{9}$, следовательно, $2 < \sqrt{4\frac{1}{9}} < 3$.

Таким образом, $x$ должен быть меньше или равен числу, которое немного больше 2. По условию, нам нужно найти все целые положительные решения. Положительные целые числа — это 1, 2, 3, ...

Условию $x \le \sqrt{4\frac{1}{9}} \approx 2.02$ удовлетворяют следующие положительные целые числа: 1, 2.

Проверка:

• При $x=1$: $3 \cdot 1 = 3$. $3 \le \sqrt{37}$ (верно, так как $9 \le 37$).
• При $x=2$: $3 \cdot 2 = 6$. $6 \le \sqrt{37}$ (верно, так как $36 \le 37$).
• При $x=3$: $3 \cdot 3 = 9$. $9 \le \sqrt{37}$ (неверно, так как $81 > 37$).

Ответ: 1, 2.

б) отрицательные решения неравенства $-2x \le \sqrt{63}$.

Решим данное неравенство относительно $x$. Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge -\frac{\sqrt{63}}{2}$

Чтобы оценить значение правой части, внесем 2 под знак корня:

$x \ge -\sqrt{\frac{63}{2^2}} = -\sqrt{\frac{63}{4}}$

Представим неправильную дробь $\frac{63}{4}$ в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$x \ge -\sqrt{\mathbf{15}\frac{3}{4}}$

Мы знаем, что $3^2=9$ и $4^2=16$. Поскольку $9 < 15\frac{3}{4} < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{15\frac{3}{4}} < \sqrt{16}$, следовательно, $3 < \sqrt{15\frac{3}{4}} < 4$.

Тогда $-4 < -\sqrt{15\frac{3}{4}} < -3$. Значение $-\sqrt{15\frac{3}{4}}$ примерно равно -3.97.

Таким образом, $x$ должен быть больше или равен числу, которое немного меньше -3. По условию, нам нужно найти все целые отрицательные решения, то есть $x < 0$.

Объединяя условия, получаем: $-\sqrt{15\frac{3}{4}} \le x < 0$. Этому двойному неравенству удовлетворяют следующие целые числа: -3, -2, -1.

Проверка:

• При $x=-1$: $-2 \cdot (-1) = 2$. $2 \le \sqrt{63}$ (верно, так как $4 \le 63$).
• При $x=-2$: $-2 \cdot (-2) = 4$. $4 \le \sqrt{63}$ (верно, так как $16 \le 63$).
• При $x=-3$: $-2 \cdot (-3) = 6$. $6 \le \sqrt{63}$ (верно, так как $36 \le 63$).
• При $x=-4$: $-2 \cdot (-4) = 8$. $8 \le \sqrt{63}$ (неверно, так как $64 > 63$).

Ответ: -3, -2, -1.