Номер 1.64, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.64. Приведите по два примера числа a, для которого известно, что:

a) $a \in \mathbb{Z}$, но $a \notin \mathbb{N}$;

б) $a \in \mathbb{R}$, но $a \notin \mathbb{Z}$;

в) $a \in \mathbb{R}$, но $a \notin \mathbb{I}$;

г) $a \in \mathbb{R}$, но $a \notin \mathbb{Q}$.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения основных числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел (числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \ldots$).
• $Z$ — множество целых чисел ($\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$).
• $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z, n \in N$).
• $I$ — множество иррациональных чисел (действительные числа, которые не являются рациональными, например, $\sqrt{2}, \pi$).
• $R$ — множество действительных чисел (объединение рациональных и иррациональных чисел).

а) $a \in Z$, но $a \notin N$: Требуется найти два числа, которые являются целыми, но не натуральными. Множество целых чисел $Z$ состоит из натуральных чисел, нуля и отрицательных целых чисел. Следовательно, в качестве примеров подойдут ноль или любое отрицательное целое число. Ответ: $0$ и $-8$.

б) $a \in R$, но $a \notin Z$: Требуется найти два действительных числа, которые не являются целыми. Это могут быть любые дробные числа, как рациональные (в виде обыкновенных или десятичных дробей), так и иррациональные. Например, можно взять конечную десятичную дробь и обыкновенную неправильную дробь. Неправильную дробь $\frac{5}{2}$ можно представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{2}$. Ответ: $0.7$ и $2\frac{1}{2}$.

в) $a \in R$, но $a \notin I$: Требуется найти два действительных числа, которые не являются иррациональными. По определению, действительное число, не являющееся иррациональным, является рациональным ($a \in Q$). Примерами могут служить любые целые числа, конечные десятичные дроби или периодические бесконечные дроби. Например, можно взять целое число и неправильную дробь. Неправильная дробь $\frac{11}{3}$ равна смешанному числу $3\frac{2}{3}$. Ответ: $-4$ и $3\frac{2}{3}$.

г) $a \in R$, но $a \notin Q$: Требуется найти два действительных числа, которые не являются рациональными. Это означает, что числа должны быть иррациональными ($a \in I$). Такие числа нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, а их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Классическими примерами иррациональных чисел являются $\pi$ и корни из чисел, не являющихся точными квадратами. Ответ: $\sqrt{5}$ и $\pi$.