устные вопросы и задания в § 2, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Какие из следующих утверждений верные:

а) $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $;

б) $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $;

в) $ \mathbb{R} \subset \mathbb{Z} $;

г) $ \mathbb{N} \subset \mathbb{R} $;

д) $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $?

2. Верно ли, что не существует рационального числа, квадрат которого равен:

а) 3;

б) 0,09;

в) 1,6?

1. Какие из следующих утверждений верные:

• а) $N \subset Z$

  Утверждение верное. Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является частью (подмножеством) множества целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$, так как каждое натуральное число также является целым.

  Ответ: верное.
• б) $Z \subset Q$

  Утверждение верное. Множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества рациональных чисел $Q$. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$, что соответствует определению рационального числа.

  Ответ: верное.
• в) $R \subset Z$

  Утверждение неверное. Множество действительных чисел $R$ включает в себя числа, которые не являются целыми, например, дробные ($\frac{1}{2}$) и иррациональные ($\sqrt{2}$). Правильным является обратное включение: $Z \subset R$.

  Ответ: неверное.
• г) $N \subset R$

  Утверждение верное. Поскольку натуральные числа являются частью целых, а целые — частью рациональных, которые, в свою очередь, являются частью действительных чисел ($N \subset Z \subset Q \subset R$), то любое натуральное число является действительным.

  Ответ: верное.
• д) $I \subset R$

  Утверждение верное. Множество иррациональных чисел $I$ (числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби, например $\pi, \sqrt{2}$) по определению является подмножеством множества действительных чисел $R$.

  Ответ: верное.

2. Верно ли, что не существует рационального числа, квадрат которого равен:

• а) 3

  Данное утверждение эквивалентно вопросу: "Является ли $\sqrt{3}$ иррациональным числом?". Да, является. Если предположить, что $\sqrt{3}$ рационально, т.е. $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ (где $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь), то $p^2 = 3q^2$. Это означает, что $p^2$ делится на 3, а значит и $p$ делится на 3. Тогда $p=3k$. Подставив, получаем $(3k)^2 = 3q^2 \Rightarrow 9k^2 = 3q^2 \Rightarrow 3k^2 = q^2$. Следовательно, $q^2$ и $q$ тоже делятся на 3. Это противоречит тому, что дробь $\frac{p}{q}$ несократимая. Значит, $\sqrt{3}$ — иррациональное число.

  Ответ: утверждение верное.
• б) 0,09

  Нужно найти число $x$, такое что $x^2 = 0,09$. Таким числом является $x = \sqrt{0,09} = 0,3$. Число $0,3$ является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{3}{10}$. Таким образом, рациональное число, квадрат которого равен 0,09, существует.

  Ответ: утверждение неверное.
• в) 1,6

  Требуется проверить, является ли $\sqrt{1,6}$ рациональным числом. Представим $1,6$ в виде неправильной дроби: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$. Выделим целую часть: $\frac{8}{5} = \mathbf{1}\frac{3}{5}$. Докажем, что $\sqrt{\frac{8}{5}}$ — иррациональное число. Предположим обратное: $\sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь). Тогда $\frac{8}{5} = \frac{p^2}{q^2}$, или $8q^2 = 5p^2$. В разложении левой части на простые множители ($2^3q^2$) множитель 5 входит в четной степени (или нулевой). В разложении правой части ($5p^2$) множитель 5 входит в нечетной степени. Так как разложение на простые множители для любого числа единственно, мы пришли к противоречию. Значит, не существует рационального числа, квадрат которого равен 1,6.

  Ответ: утверждение верное.